专题9-4 圆锥曲线点代入和非对称等题型归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 22 4 4.17MB 55 页 3知币

专题 9-4 圆锥曲线点代入和非对称等题型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】基础型：韦达定理+点代入法........................................................................................................1

【题型二】定比分点型：a= b........................................................................................................................5

【题型三】点代入型：抛物线独有的代入方法..............................................................................................8

【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积”消去型........................................................................13

【题型五】切线型.............................................................................................................................................17

【题型六】暴力计算型：求根公式直接硬解................................................................................................23

【题型七】无韦达定理型：点代入法............................................................................................................30

【题型八】坐标运算.........................................................................................................................................34

【题型九】综合题.............................................................................................................................................38

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................43

【题型一】基础型：韦达定理+点带入法

【典例分析】

已知椭圆

2 2

: 1( 0)

x y

C a b

a b

   

的离心率为

，过右焦点 F的直线

与

相交于

、

两点，

当

的斜率为 1时，坐标原点

到

的距离为

（I）求

，

的值；

（II）

上是否存在点 P，使得当

绕F转到某一位置时，有

OP OA OB 

                            

成立？

若存在，求出所有的 P的坐标与

的方程；若不存在，说明理由。

解 (I）设

( ,0)F c

，直线

: 0l x y c  

，由坐标原点

到

的距离为

则

| 0 0 | 2

c  

，解得

1c

.又

3, 3, 2

e a b

    

（II）由(I）知椭圆的方程为

2 2

: 1

3 2

x y

C 

.设

1 1

( , )A x y

、

2 2

( , )x y

由题意知

的斜率为一定不

为0，故不妨设

: 1l x my 

代入椭圆的方程中整理得

2 2

(2 3) 4 4 0m y my   

，显然

0 

。

由韦达定理有：

1 2 2

2 3

y y m

  



1 2 2

2 3

y y m

 



．．．．．．．．①

.假设存在点 P，使

OP OA OB 

  

成立，则其充要条件为：

点

1 2 1 2

P ( , )x x y y 的坐标为

，点 P在椭圆上，即

2 2

1 2 1 2

( ) ( ) 1

3 2

x x y y 

 

。

整理得

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

2 3 2 3 4 6 6x y x y x x y y     

。又

A B、

在椭圆上，即

2 2 2 2

1 1 2 2

2 3 6, 2 3 6x y x y   

故

1 2 1 2

2 3 3 0x x y y  

．．．②将

1 2 1 2 1 2 1 2

( 1)( 1) ( ) 1x x my my m y y m y y      

及①代入②解

得

m

1 2

2 2

y y   或

1 2

x x

4 3

2 3 2

  



,即

3 2

( , )

2 2

P

.当

2 3 2 2

, ( , ), : 1

2 2 2 2

m P l x y   时

;当

2 3 2 2

, ( , ), : 1

2 2 2 2

m P l x y    时

【提分秘籍】

基本规律

1.图形特征依旧有“一直一曲”的

2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上”

3.授课时，可以和点差法题型结合对比

【变式演练】

1.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线 E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线 E的左、右顶点，

直线 PM，PN 的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A，B两点，O为坐标原点，C为双曲

线上一点，满足

＝λ ＋

，求 λ的值．

解：(1)点P(x0，y0)(x≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.由题意又有·＝，

可得 a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则 e＝＝.

(2)联立，得 4x2－10cx＋35b2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则①设

＝(x3，y3)，

＝λ＋

，即

又C为双曲线上一点，即 x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

所以 x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.

由①式又有 x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得：λ2＋

4λ＝0，解出 λ＝0，或 λ＝－4.

2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等

边三角形的三个顶点，直线 l经过点，倾斜角为 45°，与椭圆交于 A、B两点.

（1）若，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关

系.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）转化条件为，，结合即可得解；

（2）联立方程组，结合韦达定理可得，再由即可得解；

（3）将椭圆方程转化为，设，，由平面向量数乘的坐标表示可得

，联立方程组，结合韦达定理化简即可得解.

【详解】

（1）设椭圆的半焦距为 c，由题意可得，即，

因为椭圆长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，

所以，所以，所以，

所以椭圆方程为；

（2）由（1）知，，所以直线，设，，

由消去 y得，，所以，，

所以，，

所以；

（3）由可得椭圆方程为，即，则点，直线

，

由消去 y得，，设，，

则，，设，由可得，

，

由点在椭圆上可得，

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