专题9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版)

3.0 envi 2025-03-06 4 4 3.17MB 43 页 3知币

专题 9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】五个方程题型框架............................................................................................................................1

【题型二】直线设法...........................................................................................................................................4

【题型三】双变量设法核心理解......................................................................................................................7

【题型四】直线过定点.....................................................................................................................................10

【题型五】圆过定点.........................................................................................................................................13

【题型六】面积的几种求法（基础）............................................................................................................16

【题型七】面积最值（难点）........................................................................................................................18

【题型八】定值.................................................................................................................................................23

【题型九】最值与范围（难点）....................................................................................................................26

【题型十】第六个方程的积累（难点）........................................................................................................29

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................32

【题型一】五个方程题型框架

【典例分析】

已知圆 C经过两点 A(2，2)，B(3，3)，且圆心 C在直线 x－y+1=0 上.

（1）求圆 C的标准方程；

（2）设直线 l：y=kx+1 与圆 C相交于 M，N两点，O为坐标原点，若，求|MN|的值.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）设圆的方程为，由已知列出关于，，的方程组求解即可得答案；

（2）设，，，，将代入，利用根与系数的关系结合向量数

量积的坐标运算求出值，再利用弦长公式即可求解．

（1）解：设所求圆的标准方程为，

由题意，有，解得，所以圆 C的标准方程为；

（2）解：设，，，，将

代入，

整理得，

所以，

，所以，

解得或，

检验时，不合题意，所以，所以，，

所以 .

【提分秘籍】

“五个方程”（过去老高考对韦达定理型的直观称呼。）参考【典例分析】

1. 一直一曲俩交点。

2. 直线有没有？是那种未知型的？

已知过定点。则可设为，同时讨论 k不存在情况。如

3.曲线方程有没有？俩交点：设为

4.联立方程，消 y或者消 x，建立一元二次方程，同时不要忘了判别式

或者

5. 得到对应的韦达定理

或

6. 目标，就是把题中问题转化为第六个关于韦达定理的方程或者不等式，代入求解

【变式演练】

1.椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆 C上一点.

（1）当 P为椭圆 C的上顶点时，求；

（2）若，求满足条件的点 P的个数；（直接写答案）

（3）直线与椭圆 C交于 A，B，若，求 k.

【答案】（1）（2）0（3）

【分析】（1）由椭圆的方程可得，，然后可得答案；

（2）结合（1）的答案可得点的个数；（3）联立直线与椭圆的方程消元，利用弦长公式求解即可.

解（1）因为椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆 C的上顶点

所以，，

所以，，所以

（2）若，满足条件的点 P的个数为 0

（3）设，联立可得

所以所以

解得

2.已知动点 P到点（0，1）的距离与到直线 y＝2的距离的比值为，动点 P的轨迹为曲线 C．

（1）求曲线 C的方程；

（2）直线 y＝kx+1 与曲线 C交于 A，B两点，点 M（0，2），证明：直线 MA，MB 的斜率之和为 0．

【答案】（1）（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；

（2）直线 y＝kx+1 与曲线 C方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.

解（1）设点 P的坐标为 P（x，y），则，整理可得曲线 C的轨迹方程为；

（2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx 1﹣＝0，则：

，

＝，

从而直线 MA，MB 的斜率之和为 0．

3.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段

长为 3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若

，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；

（2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】：（1）由题意可得，，当时，，所以得：

，解得，所以椭圆的标准方程为；

（2）由（1）可知，，，，过点且斜率为的直线方程为，

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