技巧03解答题狂练一（练）【解析版】（理科）-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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大题保分练(一)

1．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 S4＝24，S7＝63.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前 n项和 Tn.

解析：(1)∵{an}为等差数列，

∴

解得∴an＝2n＋1.

(2)∵bn＝2an＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)，

∴Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)

＝2×＋

＝(4n－1)＋n2＋2n.

2．如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 E，F分别在侧棱 BB1，CC1上，且 B1E＝

2EB，C1F＝2FC，点 D，G分别在侧棱 AB，AC 上，且 BD＝2DA，CG＝2GA.

(1)证明：点 G在平面 EFD 上；

(2)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角 A1AB1C1的余弦值．

解析：(1)证明：连接 DG，FG.因为点 E，F分别在侧棱

BB1，CC1上，且 B1E＝2EB，C1F＝2FC.

又BB1∥CC1，且 BB1＝CC1，

所以 EB∥FC，且 EB＝FC，

所以四边形 BCFE 为平行四边形，所以 EF∥BC，且 EF＝BC.

因为点 D，G分别在侧棱 AB，AC 上，且 BD＝2DA，CG＝2GA，

所以 GD∥BC，且 GD＝BC，所以 EF∥GD，且 GD＝EF，故四边形 DEFG 为梯形，

则D，E，F，G四点共面，所以点 G在平面 EFD 上．

(2)由题意知 A1B1，A1C1，A1A两两垂直，则以 A1为坐标原点，分别以 A1C1，A1A，A1B1

所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 A1xyz.

由AB＝AC＝1，AA1＝2，得 A1(0,0,0)，A(0,2,0)，B1(0，0,1)，C1(1,0,0)．

设平面 AB1C1的一个法向量为 n＝(x，y，z)，

因为AC1＝(1，－2,0)，B1C1＝(1,0，－1)，

所以取 y＝1，则 x＝z＝2，

所以 n＝(2,1,2)．

又由 m＝(1,0,0)是平面 AA1B1的一个法向量，

所以 cos〈m，n〉＝＝.

又二面角 A1AB1C1为锐二面角，

所以二面角 A1AB1C1的余弦值为.

3．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满 500 元，可选择返回 50 元现金或参加一

次抽奖，抽奖规则如下：从 1个装有 6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可

获得 100 元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．

(1)若顾客选择参加一次抽奖，求他获得 100 元现金奖励的概率；

(2)某顾客已购物 1 500 元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回 150 元现金，还

是选择参加 3次抽奖？说明理由；

(3)若顾客参加 10 次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？

解析：(1)因为从装有 10 个球的箱子中任摸一球的结果共有 C种，摸到红球的结果共

有C种，所以顾客参加一次抽奖获得 100 元现金奖励的概率是＝＝.

(2)设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，

则X～B(3,0.4)，

所以 E(X)＝3×0.4＝1.2.

由于顾客每中奖一次可获得 100 元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励

金额的均值为 1.2×100＝120 元．

因为顾客参加三次抽奖获得的现金奖励的均值 120 元小于直接返现的 150 元，所以商

场经理希望顾客参加抽奖．

(3)设顾客参加 10 次抽奖摸中红球的次数为 Y.

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