技巧03解答题狂练三（练）【解析版】（理科）-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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大题狂练(三)

1．记 Sn为数列{an}的前 n项和，已知 a1＝1，a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．

(1)证明：{an＋1}为等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式，并判断 n，an，Sn是否成等差数列．

解析：(1)证明：∵a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)，

∴a3＝3a2－2，得 a2＝3，∴an＝2an－1＋1，

∴an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)(n≥2)．

又a1＝1，

∴{an＋1}是以 2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知an＋1＝2n，∴an＝2n－1，

∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.

∵n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，

∴n＋Sn＝2an，∴n，an，Sn成等差数列．

2．如图(1)，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD 的中点，将△ABE 沿BE

折起到△A′BE 的位置，使 A′D＝，得到如图(2)所示的四棱锥 A′BCDE.

(1)求证：平面 A′BE⊥平面 A′BC；

(2)若P为A′C的中点，求二面角 PBDA′的余弦值．

解析：(1)证明：在题图(1)中，连接 BD(图略)．

因为四边形 ABCD 为菱形，∠A＝60°，

所以△ABD 是等边三角形．

因为 E为AD 的中点，所以 BE⊥AE，BE⊥DE.

又AD＝AB＝2，所以 AE＝DE＝1.

在题图(2)中，A′D＝，所以 A′E2＋ED2＝A′D2，

所以 A′E⊥ED.

因为 BC∥DE，所以 BC⊥BE，BC⊥A′E.

又BE∩A′E＝E，A′E，BE⊂平面 A′BE，

所以 BC⊥平面 A′BE.

又BC⊂平面 A′BC，所以平面 A′BE⊥平面 A′BC.

(2)由(1)知，A′E⊥DE，A′E⊥BE，BE⊥ED.

因为 BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面 BCDE，

所以 A′E⊥平面 BCDE.

以E为坐标原点，EB，ED，EA′的方向分别为 x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系．

由E(0,0,0)，A′(0,0,1)，B(，0,0)，C(，2,0)，D(0,1,0)．

因为 P为A′C的中点，所以 P，

所以PB＝，PD＝.

设平面 PBD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，

由得

令z＝，则 x＝－1，y＝－，

则m＝(－1，－，)．

设平面 BDA′的一个法向量为 n＝(x1，y1，z1)，

BD＝(－，1,0)，A′D＝(0,1，－1)，

由得

令x1＝1，则 y1＝，z1＝，则 n＝(1，，)．

则cos〈m，n〉＝＝＝－.

又二面角 PBDA′为锐二面角，

所以二面角 PBDA′的余弦值为.

3．某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色农家乐，为了确定未来发

展方向，此创业者对该景区附近五家农家乐跟踪调查了 100 天，这五家农家乐的收费标准

互不相同，得到的统计数据如表，x为收费标准(单位：元/日)，t为入住天数(单位：天)，

以频率作为各自的入住率，收费标准 x与入住率 y的散点图如图所示.

x100 150 200 300 450

t90 65 45 30 20

(1)若从以上五家农家乐中随机抽取两家深入调查，记 ξ为入住率超过 0.6 的农家乐的

个数，求 ξ的概率分布列；

(2)z＝ln x，由散点图判断y＝bx＋a与y＝bz＋a哪个更适合此模型(给出判断即可，不

必说明理由)．并根据你的判断结果求线性回归方程；(a，b的结果精确到 0.1)

(3)根据第(2)问所求的线性回归方程，试估计收费标准为多少时，100 天销售额 L最大．

(L＝100×入住率×收费标准)

参考公式及数据：b＝，a＝－ b，＝ 240 ，＝ 365 000 ，iyi＝

457.5，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，izi≈12.72，e5≈148，e5.4≈221.

解析：(1)ξ的所有可能取值为 0,1,2，

则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

∴ξ的分布列为：

ξ0 1 2

(2)由散点图可知y＝bz＋a(z＝ln x)更适合此模型．依题意，＝×(0.9＋0.65＋0.45＋0.3

＋0.2)＝0.5，

则b＝≈－0.47≈－0.5，a＝－b＝0.5＋0.47×5.35≈3.0，

所求的线性回归方程为y＝bz＋a＝－0.5ln x＋3.0.

(3)依题意，L(x)＝100(－0.5ln x＋3.0)x＝－50xln x＋300x，则 L′(x)＝－50ln x＋250，

由L′(x)＞0，得 ln x＜5,0＜x＜e5.由L′(x)＜0，得 ln x＞5，x＞e5，∴L(x)在(0，e5)上单调

递增，在(e5，＋∞)上单调递减．当 x＝e5≈148 时，L(x)取到最大值，∴当收费标准约为 148

元/日时，100 天销售额 L最大．

4．[选修 4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为(t为参数)，曲线 C的参数方程为(α为

参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C的极坐标方程；

(2)设点 M(2,1)，直线 l与曲线 C相交于点 A，B，求|MA|·|MB|的值．

解析：(1)由参数方程得普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，

所以 C的极坐标方程为 ρ2－8ρcos α－6ρsin α＋21＝0.

(2)设点 A，B对应的参数分别为 t1，t2，

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