专题03 二次函数系数问题（解析版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升
专题 03 二次函数系数问题
【知识点梳理】
1、二次函数图象的特征与 a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
aa>0 开口向上
a<0 开口向下
b
b=0 对称轴为 y轴
ab>0（a与b同号） 对称轴在 y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在 y轴右侧
c
c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2–4ac
b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac>0 与x轴有两个交点
b2–4ac<0 与x轴没有交点
2、常用公式及方法：
（1）二次函数三种表达式：
表达式 顶点坐标 对称轴
一般式
y=a x2+bx +c
(
−b
2a,4ac−b2
4a
)
x=−b
2a
顶点式
y=a
(
x−h
)
2+k
(
h , k
)
x=h
交点式
y=a
(
x−x1
) (
x−x2
)
(
x1+x2
2,−a
(
x1−x2
)
2
4
)
x=x1+x2
2
（2）韦达定理：若二次函数
y=a x2+bx +c
图象与 x轴有两个交点且交点坐标为（
x1
，0）和（
x2
，0），
则
x1+x2=−b
a
，
x1⋅x2=c
a
。
（3）赋值法：在二次函数
y=a x2+bx +c
中，令
x=1
，则
y=a+b+c
；令
x=−1
，则
y=a−b+c
；令
x=2
，则
y=4a+2b+c
；令
x=−2
，则
y=4a−2b+c
；利用图象上对应点的位置来判断含有
a
、
b
、
c
的
关系式的正确性。
【典例分析】
【例 1】如图为二次函数 y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：① ac＜0；②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-
1，x2=3；③ a+b+c＜0；④当 x＞1时，y随x的增大而减小；⑤ 2a-b=0；⑥ b2-4ac＞0．下列结论一定成立
的是
【答案】①②③⑥
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
② 由图象可知，二次函数与 x轴的交点横坐标为-1 和3，
∴方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3，故②正确；
③当x=1 时，y＜0
∴a+b+c＜0，故③正确；
④∵方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3
∴对称轴为
x=x1+x2
2=−1+3
2=1
由图象可知，当 x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；
⑤∵对称轴
−b
2a=1
∴b=-2a，2a+b=0，故⑤错误；
⑥∵二次函数与 x轴有两个交点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，故⑥正确。
故答案为：①②③⑥
【练 1】如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴分别交于 A、B两点，与 y轴交于 C点，OA=OC．
则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；② 4ac-b2＞0；③ a-b+c＞0；④ ac+b+1=0．
其中正确的个数是（ ）
A.
4
个
B.
3
个
C.
2
个
D.
1
个
【答案】B
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
② 由图象可知，二次函数与 x轴有两个交点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，即 4ac-b2＜0故②错误；
③当x=-1 时，y＞0
∴a-b+c＞0，故③正确；
④∵C（0，c），OA=OC，
∴A（c，0）
∴当 x=c 时，y=0，
即（c）²+bc+c=0
∵c≠0 正确错误.
故答案为：B.
【练 2】小明从二次函数 y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：
①c＜0；② abc＞0；③ a-b+c＞0；④ 2a-3b=0；⑤ c-4b＞0．
你认为其中正确的信息是（ ）
A.
①②③⑤
B.
①②③④
C.
①③④⑤
D.
②③④⑤
【答案】A
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；
②abc＞0，故②正确；
③ 由图象可知当 x=-1 时，y＞0
∴a-b+c＞0，故③正确；
④∵对称轴
−b
2a=1
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