第6.2讲 与圆有关的位置关系-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(解析版)

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2022 年中考数学专题复习
第6.2 讲 与圆有关的位置关系
知识点一、点、直线与圆的位置关系：
1．点与圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP＝d
（1）点 P在圆内 d < r ；
（2）点 P在圆上 d ＝ r ；
（3）点 P在圆外 d > r .
2．过三点的圆：
（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，过两点能画无数个圆，圆心在该线段的中垂线
上；
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫
做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；
（3）外心的性质：三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
（4）外心的确定：三角形三条边的垂直平分线的交点.
3．直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心到直线的距离 OP＝d
位置关系 相离 相切 相交
图示
d与r的关系 d ＞ r d ＝ r d<r
r d
P
l
O
r d
P
l
O
rd
P
l
O
温馨提醒：
1．任意一个三角形的外接圆有一个，一个圆的内接三角形有无数个；
2．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形
的外心在三角形的外部，处理无图问题时注意分类讨论；
3．锐角三角形、直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以
其最长边为直径的圆.
直线与圆
的交点个数
无交点 1个交点 两个交点
知识点二、切线的性质与判定
1．切线的定义：直线与圆有唯一一个公共点时，称直线与圆相切，这条直接叫做圆的切
线，这个点叫做切点.
2．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线的判定：
（1）定义判定：与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；
（2）数量关系：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4．切线长定理：
切线长定义：过圆外一点画圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做该点到圆的切线长.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等，并且这点与圆心的连线平分
两条切线的夹角.
知识点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫
做三角形的内心，一个三角形的内切圆有且只有一个.
2．内心的性质：三角形的内心到三角形各边的距离相等，内心与顶点的连线为角平分线.
3．内心的确定：三角形三个内角的角平分线的交点.
温馨提醒：
利用切线的性质解决问题时，常连接圆心与切点，即可得垂直关系.
温馨提醒：
（1）“连半径，证垂直”（判定定理）：若直线与圆的公共点标出时，则连接圆心与
公共点得到半径，证明半径与直线垂直；
（2）“作垂直，证等径”（数量关系）：若直线与圆公共点未标出时，则过圆心作直
线的垂线段，证明垂线段的长度等于半径.
温馨提醒：
1．△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，则 S△ABC＝
2
1
（a＋b＋c）r
2．RT△ABC 的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，内切圆半径为 r
， 则
2
cba
r
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