2021-2022学年中考一轮综合复习导学案（19）圆

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2021-2022 学年度中考一轮综合复习导学案（19）
模块十九：圆
【教材涉及章节：初三上第 24 章 圆】
涉及到 2021 大连中考题题：
【知识网络】
　　　　　　　
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
❤重点讲解❤：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆
心.
　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的
其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
❤重点讲解❤：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中 ，
知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
❤重点讲解❤：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点 P 是否在⊙O 上
　　设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有
　　 点 P 在⊙O 外；　 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.
❤重点讲解❤：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可
以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
　　当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为 .
　　(1)直线 和⊙O 没有公共点 直线和圆相离 .
　　(2)直线 和⊙O 有唯一公共点 直线 和⊙O 相切 .
　　(3)直线 和⊙O 有两个公共点 直线 和⊙O 相交 .
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　 　②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
　　设 的半径为 ，圆心距 .
　　(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离
　　 　 .
　　(2) 和 没有公共点，且 的每一个点都在 内部 内含
　　(3) 和 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切 .
　　(4) 和 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切 .
　　(5) 和 有两个公共点 相交 .
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的
距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角
三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G
表示.
　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
❤重点讲解❤：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一
定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)
内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式： ，周长 .
　　圆心角为 、半径为 R 的弧长 .
　　圆心角为 ，半径为 R，弧长为 的扇形的面积 .
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积 为 ， 侧面积为 ，全面积为
.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为 ，母
线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
❤重点讲解❤：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三
个量.
　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比
记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
【2021 中考汇编】
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点
A
，
B
，
C
，
D
，
E
在⊙
O
上，
AB
＝
CD
，∠
AOB
＝42°，则∠
CED
＝（　　）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙
O
是 Rt△
ABC
的外接圆，
OE
⊥
AB
交⊙
O
于点
E
，
AE
，
CB
的延长线交于点
F
．若
OD
＝
3，则
FC
的长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB 是⊙O的直径，BC 是⊙O的弦，先将
BC
沿BC 翻折交AB 于点 D．再将
BD
沿AB 翻
折交BC 于点 E．若
BE
＝
DE
，设∠ABC＝α，则 α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点
A
，
B
，
C
是⊙
O
上的三点．若∠
AOC
＝90°，∠
BAC
＝30°，则∠
AOB
的大小为（
）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5. （2021•长沙市）如图，点
A
，
B
，
C
在⊙
O
上，
，则
BOC
的度数为（ ）
A.
27
B.
108
C.
116
D.
128
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形
ABCD
内接于
O
，线段
MN
在对角线
BD
上运动，若
O
的面积为
2π
，
1MN
，则
AMN
周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. （2021•山东省聊城市）如图，
A
，
B
，
C
是半径为 1 的⊙
O
上的三个点，若
AB
＝
2
，∠
CAB
＝30°，则∠
ABC
的度数
为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形
ABCD
是⊙
O
的内接四边形，∠
B
＝90°，∠
BCD
＝120°，
AB
＝2，
CD
＝1，则
AD
的长为（　　）
A．2﹣2 B．3﹣C．4﹣ D．2
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，
C
，
D
是⊙
O
上直径
AB
两侧的两点，设∠
ABC
＝25°，则∠
BDC
＝（　　）
A．85° B．75° C．70° D．65°
10. （2021•广东省）如题
7
图，
AB
是
Oe
的直径，点
C
为圆上一点，
3AC
，
ABC
的平分线交
AC
于点
D
，
1CD
，则
Oe
的直径为（ ）
A．
3
　　　　 B．
2 3
　　　 C．
1
　　　　 D．
2
11. （湖北 省荆州市）如图，矩形
OABC
的边
OA
，
OC
分别在
x
轴、
y
轴的正半轴 上，点
D
在
OA
的延长线上， 若
A
（2，0），
D
（4，0），以
O
为圆心、
OD
长为半径的弧经过点
B
，交
y
轴正半轴于点
E
，连接
DE
，
BE
，则∠
BED
的度
数是（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12. （2021•四川省凉山州）点
P
是
O
内一点，过点
P
的最长弦的长为
10cm
，最短弦的长为
6cm
，则
OP
的长为（
）
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
13. （2021•泸州市）在锐角
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，有以下结论：
2
sinA sinB sinC
a cb R  
（其中
R
为
ABC
的外接圆半径）成立．在
ABC
中，若∠
A
=75°，∠
B
=45°，
c
=4，则
ABC
的外接圆面积为（ ）
A.
16
3
B.
64
3
C.
16
D.
64π
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以
AB
为直径的⊙
O
中，点
C
为圆上的一点， ＝3 ，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，弦
AF
交
CE
于点
H
，交
BC
于点
G
．若点
H
是
AG
的中点，则∠
CBF
的度数为（　　）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
15. （2021•四川省南充市）如图，
AB
是⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，
CD
＝2
OE
，则∠
BCD
的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于
A
，
B
两点，
他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，
AB
＝16 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为 16分钟，
则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0 厘米/分 B．0.8 厘米/分 C．1.2 厘米/分D．1.4 厘米/分
17. (2021•四川省自贡市) 如图，
AB
为⊙
O
的直径，弦
CD AB
于点
F
，
OE AC
于点
E
，若
3OE
，
5OB
，则
CD
的长度是（ ）
A. 9.6B.
4 5
C.
5 3
D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在 Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，以该三角形的 三 条 边 为 边 向形
外作正方形，正方形的顶点
E
，
F
，
G
，
H
，
M
，
N
都在同一个圆上．记该圆面积 为
S
1，△
ABC
面积
为
S
2，则 的值是（　　）
A．B．3πC．5π D．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，
AB
是
O
的直径，弦
CD OA
于点
E
，连结
,OC OD
．若
O
的半径为
,m AOD
 
，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
tanOE m
 
B.
2 sinCD m
 
C.
cosAE m
 
D.
2
sin
COD
S m
 
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形
ABCD
内接于⊙
O
，点
P
在 上（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
21. 2021•重庆市
B
）如图，
AB
是⊙
O
的直径，
AC
，
BC
是⊙
O
的弦，若∠
A
＝20°，则∠
B
的度数为（　　）
A
．70°
B
．90°
C
．40°
D
．60°
22. （2021•重庆市
A
）如图，四边形
ABCD
内接于☉
O
，若∠
A
=80°，则∠
C
的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
23. （湖北省十堰市）如图，
ABC
内接于
, 120 , ,O BAC AB AC BD  
是
O
的直径，若
3AD
，则
BC
（ ）
A.
2 3
B.
3 3
C. 3 D. 4
24. （2021•海南省）如图，四边形
ABCD
是⊙
O
的内接四边形，
BE
是⊙
O
的直径，连接
AE
．若∠
BCD
＝2∠
BAD
，则∠
DAE
的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小
熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对 B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在 C. 两人说的都不对 D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
26. （2021•吉林省）如图，四边形
ABCD
内接于⊙
O
，点
P
为边
AD
上任意一点（点
P
不与点
A
，
D
重合）连接
CP
．若∠
B
＝120°，则∠
APC
的度数可能为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，
A
、
B
是
O
上的两点，
60AOB  
，
OF AB
交
O
于点
F
，则
BAF
等
于（ ）
A.
20
B.
22.5
C.
15
D.
12.5
28. （2021•山东省临沂市）如图，
PA
、
PB
分别与⊙
O
相切于
A
、
B
，∠
P
＝70°，
C
为⊙
O
上一点，则∠
ACB
的度数为（
）
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