6.2.4向量的数量积（教学设计）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
《6.2.4 向量的数量积》
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教 A 版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二
节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
第二节 平面向量的运算
课时内
容
向量的加法运算 向量的减法运算 向量的数乘运算 向量的数量积
所在位
置
教材第 7 页 教材第 11 页 教材第 13 页 教材第 17 页
新教材
内容分
析
向量的加法是向量的
第一运算，是向量其
他运算的基础。通过
本节课让学生知道向
量也是一种量，同其
他量一样也有自己的
运算，学好本节课为
后面的学习奠定基
础，为用“数”的运
算解决“形”的问题
提供工具和方法。
本节课先引出相反向
量，再类比实数的减法
运算，通过相反向量将
减法运算转化为加法运
算，体现了减法运算和
加法运算之间的内部联
系。
实数与向量的乘积仍
然是一个向量，即有
大小又有方向，特别
是与已知向量是共线
向量，进而引出共线
向量定理。
教材以物理中力作功
为背景引入向量的数
量积，与向量的加
法、减法、数乘运算
一样有明显的几何意
义，用途广泛，但与
向量的线性运算不同
的是，数量积的运算
结果是数量而不是向
量。
核心素
养培养
通过理解向量加法的
概念以及向量加法的
几何意义，掌握向量
加法的平行四边形法
则和三角形法则，会
用它们解决实际问
题，培养学生数学抽
象、直观想象的核心
素养。
借助相反向量理解向量
减法运算的几何意义，
掌握平面向量减法运算
及运算规则，培养学生
逻辑推理、直观想象的
核心素养。
理解向量数乘的定义
及几何意义，掌握向
量数乘的运算律，培
养学生的数学抽象、
直观想象的核心素
养。掌握向量共线定
理，会判断或证明两
个向量共线，培养学
生的逻辑推理的核心
素养。
会计算两个向量的数
量积，提升数学抽象
的核心素养.通过探
究投影向量的表达
式，进而得到数量积
的几何意义，提升直
观想象，逻辑推理的
核心素养.
教学主
线
平面向量的运算
在学生掌握平面向量加法、减法、数乘运算的基础上，再让学生了解向量的数量积运算，理解投影的
意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功，培养数学抽象的核心素
养；
2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；
4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算
掌握平面向量数量积的性质及其运算律
难点：投影向量的概念
探究数量积的性质及其应用
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一
磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多
厚了，便停下来…结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做
功≠成功．
物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？
【想一想】当力 与运动方向成某一角度时，力 对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？
2.探索交流，解决问题
【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量
数量积的定义呢？
【提示】通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何
研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力
对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体
所做的功， ，向量的数量积具有相同的运算。
【设计意图】通过设计的问题，让学生从功的计算公式的得出过程引出投影向量和数量积的计算。
（二）向量的数量积
1.向量的夹角
【探究】如图,一个物体在力
F
的作用下产生了位移
s
,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角
是什么？
【提示】力、位移都是矢量,夹角为 .
定义 已知两个非零向量 a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝θ叫
做向量 a与b的夹角
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