6.2.3&6.2.4平面向量的计算-向量的数乘与数量积-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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6.2.3-6.2.4 平面的计算-向量的数乘与数量积

一、向量的数乘运算

(1)定义：规定实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的

长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa的方向与 a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与 a的方向相反．

(2)运算律：设 λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.

(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向

量．

对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

二、向量共线

1．向量共线的条件

（1）当向量时，与任一向量共线．

（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的

定义知与共线．

反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，

那么当与同向时，；当与反向时，．

2．向量共线的判定定理：

⃗a

是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非

零向量

⃗a

共线．

3．向量共线的性质定理：若向量与非零向量

⃗a

共线，则存在一个实数，使．

【注意】

（1）两个向量定理中向量

⃗a

均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；

（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；

（3）有且只有一个实数，使．

（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系

的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

三、平面向量的数量积

1、平面向量的数量积

定义设两个非零向量 a，b的夹角为 θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数

量积，记作 a·b

投影 |a|cos θ叫做向量 a在b方向上的投影，

|b|cos θ叫做向量 b在a方向上的投影

几何意义数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

2、平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ.

（2）a⊥b⇔a·b＝0.

（3）当 a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

（4）cos θ＝. （5）|a·b|≤|a||b|.

3、平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4、两个向量 a，b的夹角为锐角⇔a·b>0 且a，b不共线；

两个向量 a，b的夹角为钝角⇔a·b<0 且a，b不共线．

5、平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

题型一向量的线性运算

【例 1】（1）化简的结果是

A． B． C． D．

（2）将 [2(2 +8 )-4(4 -2 )]化简成最简形式为( )

A.2 - B.2 - C. - D. -

（3）等于（）

A. B. C. D.0

【变式 1-1】化简 ___________．

（2）________________。

【变式 1-2】化简下列各式：

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