5.7三角函数的应用(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)(解析版).

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5.7 三角函数的应用

本节课知识点目录：

本节课应用题中大多数是构造三角函数式子求最值

1、换元+均值；

2、正余弦和与积。

3、非特殊角的辅助角

4、轴动区间定

5、拆角恒等变形（难）

6、扇形+内接

7、圆+三角函数定义

8、切化弦恒等变形

9、一元二次+辅助角

10、多元基本不等式

【例1】换元法和均值不等式求最值

如图，扇形区域（含边界）是一蔬果种植园，其中 P、Q分别在公路和上．经测得，扇形

区域的圆心角，半径为 1千米，为了方便菜农营销，打算在扇形区城外修建一条公

路，分别与和交于 M、N两点，并要求与扇形弧相切于点 S，设（弧度），

假设所有公路的宽度均忽略不计．

（1）将公路的长度（单位：千米）表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）求公路长度的最小值，并求此时的值．

【答案】

（1），；

（2）公路长度的最小值为，此时的值为．

【分析】

（1）因为与扇形弧相切于点 S，

所以，

在中，因为，，

所以，

在中，因为，，

所以，

-----典例精讲

所以，

因为，，

所以，解得，

所以，其中；

（2）

因为，

所以，

令，则，

所以，

当且仅当即时取等号，

此时，

又，

所以．

所以公路长度的最小值为，此时的值为．

【例2】应用题中，正余弦和与积求最值

如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站

的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF 及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆

心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点 .当地政府欲投资开发区域发展经济，

其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为 .

（1）求关于的函数解析式；

（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又

，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简

整理得，即可表示 OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；

（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得 t的取值范

围，进而对原面积的函数用含 t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，

由二次函数性质即可求得最小值.

【详解】

解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又

，故， .

所以直线的方程为，即 .

因为直线与圆相切，

所以 .

因为点在直线的上方，

所以，

所以式可化为，解得 .

所以， .

所以面积为 .

（2）令，则，

且，

所以， .

令，，所以在上单调递减.

所以，当，即时，取得最大值，取最小值.

答：当时，面积为最小，政府投资最低.

【例3】非特殊角的辅助角

从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．

如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与

同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪

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