1.1.1 空间向量及其线性运算（解析版）-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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第一章《空间向量与立体几何》
1.1　空间向量及其运算
1．1.1　空间向量及其线性运算
知识点一　空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
① 几何表示法：空间向量用有向线段表示；
② 字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a的起点是 A，终点是 B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为 0的向量叫做零向量，记为 0
单位向量 模为 1的向量称为单位向量
相反向量 与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量，记为 －
a
共线向量
(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量 a，都
有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
知识点二　空间向量的线性运算
空间向
量的线
性运算
加法 a＋b＝OA＋ AB ＝OB
减法 a－b＝OA－OC＝CA
数乘
当λ>0 时，λa＝λOA＝PQ；
当λ<0 时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
知识点四　共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量 a的有向线段OA所在的直线 OA 与直线 l平行或重合，那么称向量 a平行于直线 l.如果直线
OA 平行于平面 α或在平面 α内，那么称向量 a平行于平面 α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
题型一、空间向量的有关概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【详解】对于 A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于 B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于 C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以 C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
【答案】BCD
【详解】依据向量相等的概念，选项 A判断错误；
若向量 是向量 的相反向量，则 .选项 B判断正确；
依据向量相等的概念，在正方体 中， .选项 C判断正确；
依据向量相等的概念，若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 .选项 D判断正确.
故选：BCD.
题型二、空间向量的加减运算
1．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为向量 的个数是（ ）
①； ② ；
③； ④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由正方体 ，空间向量的加法法则可得．
； ；
； ．
故选：D．
2．如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
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