【新教材精创】1.1 空间向量及其运算（教学设计）-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.0 envi 2025-04-02 24 4 1.26MB 12 页 3知币
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1.1 空间向量及其运算
本节课选自《2019 人教 A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主
要学习空间向量及其运算。
平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向
量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，
既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是
尤为重要的。
课程目标 学科素养
A.经历向量及其运算由平面向空间推广的
过程，了解空间向量、向量的模、零向
量、相反向量、相等向量等的概念；
B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数
量积；
C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；
2..直观想象：向量运算的几何意义；
3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运
算律；
1.教学重点：理解空间向量的概念
2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、情境导学
章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过
程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉
力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量
解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用
向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，
先从空间上的概念和表示开始。
二、探究新知
知识点一　空间向量的概念
思考 1.　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫
做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起
点是 A，终点是 B，则 a也可记作AB，其模记为__________.
方向；大小；长度；模；长度；|a|或|AB|
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为 0的向量叫_______，记为 0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量
与向量 a长度_____而方向_____的向量，称为 a的相反
向量，记为－a
相等向量
方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且__
___的有向线段表示同一向量或相等向量
创设问题情境，引
导学生通过平面向
量知识类比学习空
间向量
由 回 顾 知 识 出
发，提出问题，让
学生感受到平面向
量与空间向量的联
系。即空间向量是
平面向量向空间的
拓展，处理空间向
量问题要转化为平
面向量解决。
零向量；模为 1；相等；相反；相同；相等；同向；等长
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考 2.　下面给出了两个空间向量 a、b，作出 b＋a，b－a.
答案　如图，空间中的两个向量 a，b相加时，我们可以先把向量
a，b平移到同一个平面 α内，以任意点 O为起点作OA＝a，OB＝
b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
OB＝OA＋AB＝a＋b
CA＝OA－OC＝a－b
OB＝OA＋AB＝OA＋OC＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三　空间向量的数乘运算
思考 3.　实数λ和空间向量 a的乘积 λa的意义是什么？向量的数乘
运算满足哪些运算律？
答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的
长度是 a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
① 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
② 结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
让学生巩固空间
向量加减法及其运
算律的同时让学生
感受空间向量和立
体 图 形间的联系，
体现空间向平面的
转化思想。
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