[26957870]精讲练08 《代数方程》全章复习与巩固-2020-2021学年八年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 08 《代数方程》全章复习与巩固

【学习目标】

1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式 . 理解含字母系数的

一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。

2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的

基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的

个数。

3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。

4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有

理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。

5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。

6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解

法”解由两个二元二次方程组成的方程组。

7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际

生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问

题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式方程

1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;

2.一元 n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是

(

是正整数),这个方程叫做一元

次方程.

3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是

，若次数

是大于 2 的正整数，这样的

方程统称为一元高次方程。

要点诠释：

一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于 2 次.

4.二项方程概念：如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样

的方程就叫做二项方程.

要点诠释：

注：①

=0（a≠0）是非常特殊的 n 次方程，它的根是 0.② 这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次.

5.解的情况：

当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，

 

；

当 n 为偶数时，如果 ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果 ab>0，那么方程没有实

数根.

6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.

要点诠释：

当常数项不是 0 时，规定它的次数为 0.

7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方

程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。

要点诠释：

解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解

的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

要点二、分式方程

1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

要点诠释：

（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数

的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.

2.分式方程的解法

1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方

程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

2、解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，

再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公

分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点诠释：

1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.

2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.

3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.

3.解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整

式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：

（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除

以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与

原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检

验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

要点三、无理方程

1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.

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