专题8.08 轨迹方程的求法（解析版）
第八篇 平面解析几何
专题 8.08 轨迹方程的求法
【考纲要求】
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
【命题趋势】
求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线
C
上的点与一个二元方程
f
(
x
，
y
)＝0 的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲
线.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(
x
，
y
)表示曲线上任意一点
M
的坐标；
(2)写出适合条件
p
的点
M
的集合
P
＝{
M
|
p
(
M
)}；
(3)用坐标表示条件
p
(
M
)，列出方程
f
(
x
，
y
)＝0；
(4)化方程
f
(
x
，
y
)＝0 为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线
C
的方程是
f
(
x
，
y
)＝0, 那么点
P
0(
x
0，
y
0)在曲线
C
上的充要条件是
f
(
x
0，
y
0)＝0.
(2)“曲线
C
是方程
f
(
x
，
y
)＝0 的曲线”是“曲线
C
上的点的坐标都是方程
f
(
x
，
y
)＝0 的解”的充分不必
要条件.
坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
【真题体验】
1.．到点
O
(0,0)，
A
(
c,
0)距离的平方和为常数
c
(
c
≠0)的点
P
的轨迹方程为__________．
【答案】 2
x
2＋2
y
2－2
cx
＋
c
2－
c
＝0
【解析】设点
P
(
x
，
y
)，则()2＋()2＝
c
，
即
x
2＋
y
2＋(
x
－
c
)2＋
y
2＝
c
，即 2
x
2＋2
y
2－2
cx
＋
c
2－
c
＝0.
1
2．
MA
和
MB
分别是动点
M
(
x
，
y
)与两定点
A
(－1,0)和
B
(1,0)的连线，则使∠
AMB
为直角的动点
M
的轨迹方
程是__________．
【答案】
x
2＋
y
2＝1(
x
≠±1)
【解析】点
M
在以
A
，
B
为直径的圆上，但不能是
A
，
B
两点．
3．平面上有三个点
A
(－2，
y
)，
B
，
C
(
x
，
y
)，若AB⊥BC，则动点
C
的轨迹方程为__________．
【答案】
y
2＝8
x
(
x
≠0)
【解析】 AB＝，BC＝，由AB⊥BC得AB·BC＝0，即 2
x
＋·＝0，即
y
2＝8
x
.若
x
＝0，则
y
＝0，则
A
，
B
，
C
三
点都在
x
轴上，此时不存在
AB
⊥BC.所以动点
C
的轨迹方程为
y
2＝8
x
(
x
≠0)．
4．已知圆的方程为
x
2＋
y
2＝4，若抛物线过点
A
(－1,0)，
B
(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨
迹方程是__________．
【答案】 ＋＝1(
y
≠0)
【解析】设抛物线焦点为
F
，过
A
，
B
，
O
(
O
为坐标原点)作准线的垂线
AA
1，
BB
1，
OO
1，则＋＝2＝4，由抛物线
定义得＋＝＋，所以＋＝4，故点
F
的轨迹是以
A
，
B
为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)．
【考法拓展•题型解码】
考法一 定义法求轨迹方程
归纳总结
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据该曲线的标准
方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，
则应对其中的变量
x
或
y
进行限制．
【例1】 (2019·新乡调考)已知点
P
到点的距离比它到直线
x
＝－的距离小2.
(1)求动点
P
的轨迹方程；
(2)记点
P
的轨迹为
E
，过点
S
(2,0)，斜率为
k
1的直线交
E
于
A
，
B
两点，
Q
(1,0)，延长
AQ
，
BQ
与
E
交于
C
，
D
两点，设
CD
的斜率为
k
2，证明：为定值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为动点
P
到点的距离比它到直线
x
＝－的距离小2，所以动点
P
到点的距离与它到直线
x
＝－
的距离相等，所以动点
P
的轨迹是以点为焦点的抛物线，所以动点
P
的轨迹方程为
y
2＝2
x
.
(2)证明：设
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)，
C
(
x
3，
y
3)，
D
(
x
4，
y
4)，
则直线
AB
的方程为
y
＝
k
1(
x
－2)，代入抛物线方程消去
x
，得
y
2－
y
－4＝0，所以
y
1＋
y
2＝，
y
1
y
2＝－4.直
线
AC
，
BD
过点
Q
(1,0)，同理可得
y
1
y
3＝
y
2
y
4＝－2，所以
y
3＝－，
y
4＝－，所以
k
2＝＝＝－＝2
k
1，所以＝
2.
考法二 直接法求轨迹方程
2
解题技巧
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将
步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系
则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【例2】 已知定点
A
，
B
，且|
AB
|＝2
a
.如果动点
P
到点
A
的距离与到点
B
的距离之比为 2∶1，求点
P
的轨迹．
【答案】见解析
【解析】 取
AB
所在的直线为
x
轴，从
A
到
B
为正方向，以
AB
的中点
O
为原点，以
AB
的中垂线为
y
轴，建立
直角坐标系，则
A
(－
a,
0)，
B
(
a,
0)．设
P
(
x
，
y
)，因为＝，即＝2，化简整理可得 3
x
2＋3
y
2－10
ax
＋3
a
2＝
0，即 2＋
y
2＝
a
2.故动点
P
的轨迹是以
C
为圆心，
a
为半径的圆．
考法三 相关点法(代入法)求轨迹方程
答题模板
相关点法(代入法)求轨迹方程的基本步骤
第一步：设出所求动点坐标
P
(
x
，
y
)．
第二步：寻求所求动点
P
(
x
，
y
)与已知动点
Q
(
x
′，
y
′)的关系．
第三步：建立
P
，
Q
两坐标间的关系，并用
x
，
y
用表示出
x
′，
y
′.
第四步：将
x
′，
y
′代入已知曲线方程中化简求解．
【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)设
O
为坐标原点，动点
M
在椭圆
C
：＋
y
2＝1 上，过
M
作
x
轴的垂线，垂足为
N
，
点
P
满足NP＝ NM.
(1)求点
P
的轨迹方程；
(2)设点
Q
在直线
x
＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F
.
【答案】见解析
【解析】(1)设
P
(
x
，
y
)，
M
(
x
0，
y
0)，则
N
(
x
0,0)，NP＝(
x
－
x
0，
y
)，NM＝(0，
y
0)，由NP＝ NM得
x
0＝
x
，
y
0＝
y
.因为
M
(
x
0，
y
0)在
C
上，所以＋＝1.因此点
P
的轨迹方程为
x
2＋
y
2＝2.
(2)证明：由题意知
F
(－1,0)．设
Q
(－3，
t
)，
P
(
m
，
n
)，则OQ＝(－3，
t
)，PF＝(－1－
m
，－
n
)，OQ·PF＝
3＋3
m
－
tn
，OP＝(
m
，
n
)，PQ＝(－3－
m
，
t
－
n
)，由OP·PQ＝1 得－3
m
－
m
2＋
tn
－
n
2＝1，又由(1)知
m
2＋
n
2
＝2，故 3＋3
m
－
tn
＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，又过点
P
存在唯一直线垂直于
OQ
，所以过点
P
且垂直
于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F
.
【易错警示】
易错点 忽视了轨迹中的隐含条件
【典例】 直线
l
：
y
＝
k
(
x
－5)(
k
≠0)与圆
O
：
x
2＋
y
2＝16 相交于
A
，
B
两点，
O
为圆心，当
k
变化时，求弦
AB
的中点
M
的轨迹方程．
3
相关推荐
-
河南省H20高中联盟2024-2025学年高三下学期4月联考试题 物理 PDF版含解析
2025-05-31 62 -
河南开封市、周口市、商丘市2025届高三下学期3月第二次质量检测试题 政治 PDF版含答案
2025-05-31 87 -
河南开封市、周口市、商丘市2025届高三下学期3月第二次质量检测试题 数学 PDF版含答案
2025-05-31 62 -
河南开封市、周口市、商丘市2025届高三下学期3月第二次质量检测试题 地理 PDF版含答案
2025-05-31 48 -
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 政治 PDF版含解析（河南版）
2025-05-31 41 -
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 生物 PDF版含解析（河南版）
2025-05-31 104 -
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 化学 PDF版含解析（河南版）
2025-05-31 87 -
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 地理 PDF版含解析（河南版）
2025-05-31 75 -
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 历史 PDF版含解析（河南版）
2025-05-31 90 -
河南省H20高中联盟2024-2025学年高三下学期4月联考试题 地理 PDF版无答案
2025-05-31 104
作者：envi
分类：高中
价格：3知币
属性：9 页
大小：144KB
格式：DOC
时间：2025-04-11
作者详情
相关内容
-
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 生物 PDF版含解析（河南版）
分类：分省
时间：2025-05-31
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
-
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 化学 PDF版含解析（河南版）
分类：分省
时间：2025-05-31
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
-
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 地理 PDF版含解析（河南版）
分类：分省
时间：2025-05-31
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
-
八省八校部分重点中学2025届高三下学期3月联合测评试题（T8联考） 历史 PDF版含解析（河南版）
分类：分省
时间：2025-05-31
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
-
河南省H20高中联盟2024-2025学年高三下学期4月联考试题 地理 PDF版无答案
分类：分省
时间：2025-05-31
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
