专题8.6 双曲线的定义、标准方程、几何性质（原卷版）
第八篇 平面解析几何
专题 8.06 双曲线的定义、标准方程、几何性质
【考纲要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景．
3.理解数形结合的思想.
【命题趋势】
1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；判断双曲线焦点
的位置．
2.求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．双曲线的定义
平面内到两个定点
F
1，
F
2的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a＜|
F
1
F
2|)的点
P
的轨迹叫做双曲线.这两个定
点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
当|
PF
1|－|
PF
2|＝2a 2a＜|
F
1
F
2|时，点
P
的轨迹为靠近
F
2的双曲线的一支.
当|
PF
1|－|
PF
2|＝－2a 2a＜|
F
1
F
2|时，点
P
的轨迹为靠近
F
1的双曲线的一支.
若 2
a
＝2
c
，则轨迹是以
F
1，
F
2为端点的两条射线；若 2
a
＞2
c
，则轨迹不存在；若 2
a
＝0，则轨迹是线段
F
1
F
2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在
x
轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(
a
＞0，
b
＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在
y
轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(
a
＞0，
b
＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(
a
＞0，
b
＞0) －＝1(
a
＞0，
b
＞0)
1
图形
对称性 对称轴：
x
轴，
y
轴；对称中心：原点
焦点
F
1(－
c,
0)，
F
2(
c,
0)
F
1(0，－
c
)，
F
2(0，
c
)
顶点
A
1(－
a,
0)，
A
2(
a,
0)
A
1(0，－
a
)，
A
2(0，
a
)
轴
线段
A
1
A
2，
B
1
B
2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2
a
，
虚轴长为 2
b
焦距 |
F
1
F
2|＝2
c
离心率
e
＝＝ ∈(1，＋∞)
e
是表示双曲线开口大小的
一个量，
e
越大开口越大.
渐近线
y
＝±
x y
＝±
x
a
，
b
，
c
的关系
a
2＝
c
2－
b
2
【素养清单•常用结论】
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(
a
＞0，
b
＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝
t
(
t
≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为
b
.
(4)若
P
是双曲线右支上一点，
F
1，
F
2分别为双曲线的左、右焦点，则|
PF
1|min＝
a
＋
c
，|
PF
2|min＝
c
－
a
.
【真题体验】
1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 F为双曲线 C： 的右焦点， 为坐标原点，以
为直径的圆与圆 交于 P，Q两点．若 ，则 C的离心率为
A． B． C．2 D．
2.
【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线 C：=1 的右焦点为 F，点 P在C的一条渐近线上，O为坐标原
点，若 ，则△PFO 的面积为（ ）
2
A． B． C． D．
3.【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是（ ）
A．
B．1 C． D．2
4.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1
的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B两点．若 ， ，则 C的离心率为__________
__．
5.【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点
（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是____________.
【考法拓展•题型解码】
考法一 双曲线的定义及其应用
归纳总结
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||
PF
1|－|
PF
2||＝2
a
，运用平方的方法，
建立为|
PF
1|·|
PF
2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是
双曲线的一支．
【例1】 (1)设
F
1，
F
2是双曲线
x
2－＝1 的两个焦点，
P
是双曲线上的一点，且 3＝4，则△
PF
1
F
2的面积等于(
)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1 的左、右焦点分别为
F
1，
F
2，过
F
1的直线
l
交双曲线左支于
A
，
B
两点，则|
BF
2|＋|
AF
2|
的最小值为__________．
3
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