专题8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（解析版）

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第八篇平面解析几何

专题 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【考纲要求】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

3.掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系

【命题趋势】

直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与

圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线 l与x轴相交时，取 x轴作为基准，

x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线 l的倾斜角.

(2)规定：当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.

(3)范围：直线 l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)定义式：直线 l的倾斜角为 α，则斜率 k＝tan α.

(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l上，且 x1≠x2，则 l的斜率 k＝. 

3．直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0)不含垂直于 x轴的直线

斜截式 y＝kx＋b不含垂直于 x轴的直线

两点式＝

不含直线 x＝x1(x1≠x2)和直线 y

＝y1(y1≠y2)

截距式＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点

的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用

【素养清单•常用结论】

特殊直线的方程

(1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x轴的方程为 x＝x1；

(2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y轴的方程为 y＝y1；

(3)y轴的方程为 x＝0；

(4)x轴的方程为 y＝0.

【真题体验】

1．直线 x＋y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为(　　)

A．30° B．60°

C．150° D．120°

【答案】C　

【解析】由k＝tan α＝－，α∈[0°，180°)得α＝150°.

2．已知直线 l过点 P(－2,5)，且斜率为－，则直线 l的方程为(　　)

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

【答案】A　

【解析】由 y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0.

3．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为(　　)

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

【答案】A　

【解析】由 1＝得 m＋2＝4－m，即 m＝1.

4．若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a的值为__________．

【答案】4

【解析】kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于 A，B，C三点共线，所以 a－3＝1，即 a＝4.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　直线的倾斜角与斜率

误区防范　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

注意斜率与倾斜角的对应分段

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分，

和三种情况讨论．当 α∈时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝时，斜率不存在；当 α∈时，斜率 k∈(－∞，0)．

【例 1】 (1)直线 2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.　

C. D.

【答案】B

【解析】(1)直线 2xcos α－y－3＝0的斜率 k＝2cos α，因为 α∈，

所以 ≤cos α≤，因此 k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1，]．又 θ∈[0，π)，所以 θ∈，

即倾斜角的取值范围是.

(2)直线 l过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线 l斜率的取值范围是_________

_．

【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞)

【解析】如图，因为 kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以

k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

考法二　　直线方程的求法

归纳总结:求直线方程的两种方法

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．

(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参

数，再把参数的值代入所设直线方程即可．

【例 2】根据所给条件求直线的方程．

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.

【答案】见解析

【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为 α，则 sin α＝(0<α<π)，从而 cos α＝±，

则k＝tan α＝±.故所求直线方程为 y＝±(x＋4)，

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为＋＝1.

又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，

解得 a＝－4或a＝9.

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