专题08反比例函数及综合问题（解析版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 08 反比例函数及综合问题
【方法指导】
1.反比例函数知识梳理：
1．反比例函数的
图象和性质
k
>0 图象经过第
一、三象限
（ x 、 y 同
号）
每个象限内，函数
y
的值随
x
的增大而减小.
k
<0 图象经过第
二、四象限
（ x 、 y 异
号）
每个象限内，函数
y
的 值随
x
的增大而增大.
2.
反比例函数的
图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近
x
轴和
y
轴，但都不会与
x
轴和
y
轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称轴
分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
3.
系数
k
的几何
意义
（1）意义：从反比例函数
y
＝(
k
≠0)图象上任意一点向
x
轴和
y
轴作垂线，
垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|
k
|,以该点、一个垂足和原点为顶点
的三角形的面积为 1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
4.
与一次函数的
综合
（1）确定交点坐标：
【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个
交点坐标为（-a,-b）.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两
个函数解析式中求解
（3）在同一坐标 系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关
系，可采用假设法，分 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论，看哪个选 项符合要
求即 可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在
下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
【题型剖析】
1
【类型 1】反比例函数 k 的几何意义
【例 1】（2019•宿豫区模拟）如图，A是反比例函数 y（x＞0）的图象上的任意一点，AB∥x轴，交反
比例函数 y的图象于点 B，以 AB 为边画▱ABCD，其中 C、D在x轴上，则▱ABCD 的面积等于（
）
A．4 B．5 C．8 D．9
【分析】连结 OA、OB，AB 交y轴于 E，由于 AB⊥y轴，根据反比例函数系数 k的几何意义得到 S△OEA
4＝2，S△OBE 5，则四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到 S平行四边
形ABCD＝2S△OAB＝9．
【解析】连结 OA、OB，AB 交y轴于 E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA 4＝2，S△OBE 5＝2.5，
∴S△OAB＝2.5+2＝4.5，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴S平行四边形 ABCD＝2S△OAB＝9．
故选：D．
2
【点睛】本题考查了反比例函数 y（k≠0）系数 k的几何意义：从反比例函数 y（k≠0）图象上
任意一点向 x轴和 y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【变式 1-1】（2019•梁溪区一模）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C都在坐标轴上，点 B在第二象限，矩形
OABC 的面积为 6．把矩形 OABC 沿DE 翻折，使点 B与点 O重合．若反比例函数 y的图象恰好经
过点 E和DE 的中点 F．则 OA 的长为（　　）
A．2 B．C．2 D．
【分析】连接 BO 与ED 交于点 Q，过点 Q作QG⊥x轴于 G，可通过三角形全等证得 BO 与ED 的交点
就是 ED 的中点 F，由相似三角形的性质可得 S△OGF S△OCB，从而求出 S△OAE，进而可以得到 AB＝
4AE，即 BE＝3AE．由轴对称的性质可得 OE＝BE，从而得到 OE＝3AE，也就有 AO＝2AE，根据
△OAE 的面积可以求出 OA 的值．
【解析】连接 BO 与ED 交于点 Q，过点 Q作QN⊥x轴，垂足为 N，如图所示，
∵矩形 OABC 沿DE 翻折，点 B与点 O重合，
∴BQ＝OQ，BE＝EO．
∵四边形 OABC 是矩形，
∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．
∴∠EBQ＝∠DOQ．
在△BEQ 和△ODQ 中，
．
∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．
∴EQ＝DQ．
3
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