专题08 圆锥曲线的方程（知识梳理）（原卷版）2020-2021学年高二数学单元复习（人教A版选择性必修第一册）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 2.23MB 8 页 3知币
侵权投诉
专题 08 圆锥曲线的方程（知识梳理）
一、椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设 、 是定点， 为动点，则满足 (为定值且 )
的动点 的轨迹称为椭圆，符号表示： ( )。
注意：当 时为线段 ，当 时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质
定义方程
标准方程 ( ) ( )
一般方程 (， ， )
推导方程 ( ) ( )
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在 轴上 ， 焦点在 轴上 ，
对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 、 、
、
、 、 、
轴长轴 的长为： (为长半轴) 短轴 的长为： (为短半轴)
离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率 ， ，
越大越扁， 越小越圆
焦距：
(1)椭圆的标准方程的判定方法：
① 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在 轴
上，反之，焦点在 轴上。
② 通过 、 、 三个量之间的关系(， ，且 )求出未知量。
(2)点 在椭圆的的内外部的判断方法：
① 点 在椭圆内；② 点 在椭圆上；③ 点 在椭
圆外。
(3)焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
焦半径公式： 为椭圆上任一点，
， ； ， ；
1
对于椭圆 ( )，设 为椭圆上一点，则：
左焦半径 ，∴ ，∴ ，
右焦半径 ，∴ ，∴ ，
综上： ， ，即 。
(4)椭圆的一般方程：
方程 (、 、 均不为零)可化为： ，即 ，
则只有 、 、 同号，且 时，方程表示椭圆，
当 时，椭圆的焦点在 轴上，当 时，椭圆的焦点在 轴上。
3、椭圆 ( )的图像中线段的几何特征(如图)：
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) ， 。
二、椭圆中的焦点三角形
若 、 是椭圆 ( )的两个焦点， 为椭圆上一动点，则 称为椭
圆的焦点三角形，其周长为 。
1、相关性质：
(1)当点 从 点逆时针运动时， 由锐角逐渐增大，到达 点时达到最大，过了 轴之后又
逐渐减小。
(2)设 ，则 。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设 ，则焦点三角形的面积 。
(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 。
(5) ，最大值与最小值之差一定是 。
2、解与焦点三角形 (为椭圆上的点)有关的计算问题
2
(1)与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形
面积公式 相结合的方法进行计算解题。
(2)将有关线段 、 、 ，有关角 ( )结合起来，建立
和 之间的关系。
三、直线与椭圆
1、由方程组 ，消去 导成 ( )，判断 。
方程组有两解 两个交点 相交
方程组有一解 一个交点 相切
方程组无解 无交点 相离
2、过椭圆上点切线问题：
若 在椭圆 ( )上，则过 的椭圆的切线方程是 。
3、弦长公式：若直线 与椭圆 ( )的交点为 、 ，
则 叫做弦长。
(韦达定理)。
说明： 与 分别是直线与曲线方程联立方程组消去 后的根的判别式及 项的系数。
4、焦点弦公式：椭圆方程为 ( )，半焦距为 ，焦点 、 ，
设过 的直线 的倾斜角为 ， 交椭圆于两点 、 ，求弦长 。
5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上 ( )上一点 的切线斜率为 。
(2)直线 (不平行于 轴)过椭圆 ( )上两点 、 ，其中 中点为 ，
则有 。
特殊的：直线 (存在斜率)过椭圆 ( )上两点 、 ，线段 中点为 ，
则有 。
(3)若 、 是椭圆 ( )上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点，当 、
3
专题08 圆锥曲线的方程（知识梳理）（原卷版）2020-2021学年高二数学单元复习（人教A版选择性必修第一册）.doc

共8页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：8 页 大小：2.23MB 格式：DOC 时间：2025-04-11

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 8
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注