专题08 数列中的最值问题（原卷版）

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专题 08 数列中的最值问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n项和与第
n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的
通项、前 n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值
问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规
律与方法.
1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；
2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；
3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；
4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．
【压轴典例】
例 1.(2020·北京高考·T8)在等差数列{
an
}中,
a
1=-9,
a
5=-1
.
记
Tn
=
a
1
a
2…
an
(
n
=1,2,…),则数
列{
Tn
} (
　　
)
A.有最大项,有最小项　　　　　 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D
.
无最大项,无最小项
例2．（2021·山西运城市·高三期末）设首项为 1的数列 的前 n项和为 ，且
，若 ，则正整数 m的最小值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
例3．（2021·新疆高三其他模拟）若 是函数
的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大
整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·全国高三其他模拟）数列 满足： ，
1
，若数列 的前 项和 ，则 最小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例 5.（河南省开封市 2020 高三）已知等比数列 满足： ，
，则 取最小值时，数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
例6.（安徽省黄山市 2020 高三）已知数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，
， ，若对任意的 ， 恒成立，
则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
例 7.（广西柳州市 2020 高三）已知点 在函数 的图象上（ ）.
数列 的前 项和为 ，设 ，数列 的前 项和为 .则 的最小值为___
_
例8.（2019·天津高考模拟）已知数列
{ }
n
a
是正项等比数列，
1 3 4 2 3
10, 2a a a a a 
,
数列
{ }
n
b
满足条件
1 2 3
( 2)
n
b
n
a a a a
.
(Ⅰ) 求数列
{ }
n
a
、
{ }
n
b
的通项公式；
2
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