专题08 数列中的最值问题（解析版）

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专题 08 数列中的最值问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n项和与第
n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的
通项、前 n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值
问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规
律与方法.
1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；
2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；
3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；
4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．
【压轴典例】
例 1.(2020·北京高考·T8)在等差数列{
an
}中,
a
1=-9,
a
5=-1
.
记
Tn
=
a
1
a
2…
an
(
n
=1,2,…),则数
列{
Tn
} (
　　
)
A.有最大项,有最小项　　　　　 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D
.
无最大项,无最小项
【解析】选 B
.
设公差为
d
,因为
a
1=-9,
a
5=
a
1+4
d
=-1,所以
d
=2,所以
a
1,…,
a
5<0,
a
6,…>0,
所以
T
1<0,
T
2>0,
T
3<0,
T
4>0,
T
5<0,以后都小于 0,且越来越小
.
例2．（2021·山西运城市·高三期末）设首项为 1的数列 的前 n项和为 ，且
，若 ，则正整数 m的最小值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【详解】当 为奇数时， ，所以
，又 ，所以 成等比数列，公比为
2， ，即 ，
当 为偶数时， ，所以 ，又
1
，所以 成等比数列，公比为 2，
，即 ，所以 ，
， ，
，所以满足 的正整数 m的最小值为 16．
例3．（2021·新疆高三其他模拟）若 是函数
的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大
整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】 ，∴ ，即有
，∴ 是以 2为首项 3为公比的等比数列，∴ ，
∴ ∴
，又 为增函数，当 时，
2
， ，若 恒成立，则 的最大值为 1010.
例4．（2021·全国高三其他模拟）数列 满足： ，
，若数列 的前 项和 ，则 最小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 ，所以
，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
例 5.（河南省开封市 2020 高三）已知等比数列 满足： ，
，则 取最小值时，数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，当 时， ，则
3
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