专题08 数列（解析版）-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第二期•3月）

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专题 08 数列
1．（福建省漳州市 2021 届高三质量检测）在数列 中， 和 是关于 的一元二次方程
的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数 的取值范围是 或
B．若数列 为等差数列，则数列 的前 7项和为
C．若数列 为等比数列且 ，则
D．若数列 为等比数列且 ，则 的最小值为 4
【答案】AD
【分析】
对A，由判别式即可判断；对 B，先利用韦达定理得出 ，再利用等差数列的性质以及前 项和
公式即可求解；对 C，先利用韦达定理得到 ，再根据等比数列的性质即可求解；对 D，利用
基本不等式即可求出 的最小值.
【解析】对 A， 有两个根，
，
解得： 或 ，故 A正确；
对B，若数列 为等差数列，
和 是关于 的一元二次方程 的两个根，
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，
则 ，故 B错误；
对C，若数列 为等比数列且 ，由韦达定理得： ，
可得： ， ，
，
由等比数列的性质得： ，
即 ，故 C错误；
对D，由 C可知： ，且 ， ，
，当且仅当 时，等号成立，故 D正确.
故选 AD.
2．（湖北省重点中学 2020-2021 学年高三质检测）已知数列 的首项 且满足
，其中 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．当 时，有 恒成立
B．当 时，有 恒成立
C．当 时，有 恒成立
D．当 时，有 恒成立
【答案】AC
【分析】
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题设中的递推关系等价为 ，根据首项可找到 的局部周期性，从而可得正确
的选项.
【解析】
因为 ，故 ，
当 即 时， ， ， ，故 为周期数列且 ，故 A正确.
当 即 时， ，同理 ， ， ， ， ，故 ，故 B
错误.
当 即 时，根据等比数列的通项公式可有 ，
， ， ，故 D错误.
对于 C，当 时，数列 的前 108 项依次为：
，
，
，
，
，
，
故 ， ， ， ， ，
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