专题08 数列 （解析版）-十年高考数学（文）客观题（2012-2021）真题分项详解

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专题 08 数列
【2021 年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西
1. 记 为等比数列 的前 n项和.若 ， ，则 （ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进
一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前 n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴.
故选：A.
【2021 年新课标 1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建
2. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格
为 的长方形纸，对折 1次共可以得到 ， 两种规格
的图形，它们的面积之和 ，对折 2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折 4次共
1
可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折 2次共可以得到 ， ， 三种规
格的图形，所以对着三次的结果有： ，共 4种不同规格（单位
；
故对折 4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格
如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为 120 ,第n次对折后的图形面积为
，对于第 n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想
为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
2
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则
，利用裂项相消法求和.
【2020 年】
3.（2020·新课标Ⅰ文）设 是等比数列，且 ， ，则
3
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