专题08 立体几何之棱柱为载体建系求角（原卷版）-2021年高考数学二轮复习之解答题专题

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高考冲刺专题 08 立体几何之棱柱为载体建系求角
1．（2020·江西南昌市·高三其他模拟（理））如图，四棱柱 中，底面 是菱形，
，对角面 是矩形，且平面 平面 ．
（1）证明：四棱柱 是直四棱柱；
（2）设 ，若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由面面垂直得 平面 ，得直棱柱；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．设
，写出各点坐标然后求出两个平面 和 的法向量，由法向量夹角的余弦可得二面角的
余弦．
【详解】
（1）如图，平面 平面 ，且平面 平面 ．
因对角面 是矩形，所以 ，
由面面垂直的性质定理得 平面 ，
故四棱柱 是直四棱柱．
（2）由四边形 是菱形，∴ ．
设 ， 底面 ，
从而 ， ， 两两垂直．
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
不妨设 ，因为 ，所以 ， ，又 ，
于是 ， ．易知， 是平面 的一个法向量．
设 是平面 的一个法向量，则 即
取 ，则 ， ，所以 ．
设二面角 的平面角为 ，易知 是锐角，
于是 ．
故二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
本题考查直棱柱的概念，考查用空间向量法求二面角．建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角是求
解的常用方法．
2．（2016·四川自贡市·高三一模（理））如图，三棱柱 中，侧面 ，
， 且 .
C
1
B
1
A
C
B
A
1
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：作 的中点 ，因为 ，且 为 的中点可得 ，又侧面 底面
，由此可证 底面 ,以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴建立空
间直角坐标系.（Ⅰ）写出相应点的坐标，求出 与 ，由 可证 ；（Ⅱ）求出平
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