专题07 导数的综合运用（解析版）

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专题 07 导数的综合运用
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2020 届山东师范大学附中高三月考）已知
 
2
1ln
2
f x x a x 
在区间
 
0, 2
上有极值点，实数 a的
取值范围是（ ）
A．
 
0, 2
B．
 
2, 0 0, 2
C．
 
0, 4
D．
 
4,0 0, 4
【答案】C
【解析】
2
( ) a x a
f x x x x
 
,由于函数
( )f x
在
(0, 2)
上有极值点，所以
( )f x
在
(0, 2)
上有零点.所以
，解得
(0, 4)a
.
故选：D.
2、 【 2019 年 高 考 浙 江 】 已 知 ， 函 数 ． 若 函 数
恰有 3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
1
【解析】当 x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即 a≤ 1﹣时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即 a> 1﹣时，令 y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2个零点.
根据题意，函数 y＝f（x）﹣ax﹣b恰有 3个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，
在[0，+∞）上有 2个零点，
如图：
∴0且 ，
解得 b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选 C．
2
3、(2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）函数
   
1
, 1,
ln 1 , 1,
x
e x
f x x x
 
若函数
   
g x f x x a  
只
有一个零点，则
a
可能取的值有（ ）
A．2 B．
2
C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】∵
   
g x f x x a  
只有一个零点，
∴函数
( )y f x
与函数
y x a 
有一个交点，
作函数函数
   
1
, 1,
ln 1 , 1,
x
e x
f x x x
 
与函数
y x a 
的图象如下，
结合图象可知，当
0a
时；函数
( )y f x
与函数
y x a 
有一个交点；
当
0a
时，
ln( 1)y x 
，可得
1
1
yx
，令
11
1x
可得
2x
，所以函数在
2x
时，直线与
ln( 1)y x 
相切，可得
2a
.
综合得：
0a
或
2a
.
故选：ABC.
3
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