专题6.数列与数学归纳法--《2022届复习必备--2021届浙江省高考冲刺数学试卷分项解析》【解析版】

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专题 6.数列与数学归纳法
一、单选题
1．（2021·浙江高三二模）已知等差数列
 
n
a
，正整数
p
，
q
，
s
，
t
满足
p q s t
a a a a  
，则
2 2
s t
p q
的
取值范围是（ ）
A．
B．
1, 
C．
 
*
x x N∣
D．以上均不正确
【答案】B
【解析】
利用等差数列的性质可得
p q s t  
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由
 
n
a
为等差数列，且
p q s t
a a a a  
，
则
p q s t  
，
所以
 
2
2 2 22
s t st
s t st
s t st
p q s t s t
 
 
 
，
当且仅当
s t
时，取等号，
又
,s t N
，
所以
1, 1s t 
，即
1st
，
所以
2 2
1
s t
p q
，故
2 2
s t
p q
的取值范围是
1, 
.
故选：B
2．（2021·浙江高三二模）已知数列
 
n
x
满足
且
1
1 2
k k
x x
 
，
k
N
．则
1 2 2021
x x x 
的最小值是（ ）．
1
A．
17
B．
19
C．
69
D．
87
【答案】C
【解析】
由已知递推关系式可得
2 2
1 1
2 4 3
k k k k
x x x x
 
 
，采用累加法可将所求式子表示为
 
2
2022
11 6067
2x 
，
由
2022
x
为偶数可确定
2022
1 77x 
时取最小值，代入可得结果.
【详解】
由
1
1 2
k k
x x
 
得：
2 2
1 1
2 4 3
k k k k
x x x x
 
 
，
2 2
2022 2022 2021 2021
2 4 3x x x x 
，
2 2
2021 2021 2020 2020
2 4 3x x x x  
，…，
2 2
3 3 2 2
2 4 3x x x x  
，
2 2
2 2 1 1
2 4 3x x x x  
，
2 2
1 1 0 0
2 4 3 3x x x x  
，
累加得
 
2
2022 2022 1 2 2021
2 2 3 2022x x x x x  
，
 
2
1 2 2021 2022
11 6067
2
x x x x 
，
1
1 2
k k
x x
 
，
，
当
k
为奇数时，
k
x
为奇数；
k
为偶数时，
k
x
为偶数；
则
2022
x
为偶数，
当
2022
1 77x 
时，
1 2 2021
x x x 
取得最小值
69
．
当数列
 
k
x
满足
 
75
k
x k k 
，
76
k
x
（
76k
且
k
为偶数），
79
k
x 
（
76k
且
k
为奇数）时，
符合条件.
故选：C.
3．（2021·浙江高三其他模拟）设
 
n
a
是等差数列.下列结论中正确的是
A．若
1 2
0a a 
，则
2 3
0a a 
B．若
1 3
0a a 
，则
1 2
0a a 
2
C．若
1 2
0a a 
，则
2 1 3
a a a
D．若
1
0a
，则
 
2 1 2 3
0a a a a  
【答案】C
【详解】
先分析四个答案，A举一反例
1 2 3
2, 1, 4a a a    
，
1 2 0a a 
而
2 3
0a a 
，A错误，B举同样反例
1 2 3
2, 1, 4a a a    
，
1 3
0a a 
，而
1 2 0a a 
，B错误，
D选项，
2 1 3 2
, ,a a d a a d  
2
2 1 3 2
( )( ) 0,a a a a d  
故D错，
下面针对 C进行研究，
 
n
a
是等差数列，若
1 2
0a a 
，则
1
0,a
设公差为
d
，则
0d
，数列各项均为
正，由于
2 2
2 1 3 1 1 1
( ) ( 2 )a a a a d a a d  
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 0a a d d a a d d  
，则
2
1 1 3
a a a
1 1 3
a a a 
，
故选 C.
4．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知数列
 
n
a
满足
 
2
1
12 ln 1 , 2 1
2
n n n n n
a a a a a e
 
（e
为自然对数的底数），则（ ）
A．
1n n
a a
B．
2
1
2
n n
a a
C．
1
3
n
a
D．
2
1
4
n
e
a
【答案】C
【解析】
根据条件中的递推关系，判断选项 AB 的正误；令
 
2
12ln 1
2
y x x x  
，求导知函数单增，根据
2 1
n
a e  
，从而判断
1n
a
的取值范围.
【详解】
3
专题6.数列与数学归纳法--《2022届复习必备--2021届浙江省高考冲刺数学试卷分项解析》【解析版】.doc

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