专题6.数列与数学归纳法--《2021届浙江省优质数学试卷分项解析04》【原卷版】

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专题 6.数列与数学归纳法
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列
基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度
中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳
定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题
综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等
式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.
预测 2021 年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.
1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{
an
}的前
n
项和
Sn
，公差
d
≠0， ．记
b
1=
S
2，
bn+
1=
S2n+
2–
S
2
n
， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2
a
4=
a
2+
a
6B．2
b
4=
b
2+
b
6C． D．
2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前 3 项和是________．
3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{
an
}，{
bn
}，{
cn
}中，
．
（Ⅰ）若数列{
bn
}为等比数列，且公比 ，且 ，求
q
与{
an
}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
bn
}为等差数列，且公差 ，证明： ．
1
4．（2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
一、单选题
1．（2021·浙江高三期末）数列
 
1
n
a
是等比数列，且
1 2
1, 3a a 
，则
2021
a
（ ）
A．
2021
2 1
B．
2021
2 1
C．
2020
2 1
D．
2020
2 1
2．（2021·浙江绍兴市·高三一模）已知无穷数列
是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前 n项
和为
,
n
S n N
，则（ ）
A．数列
n
S
n
 
 
 
不可能是等差数列 B．数列
2
n
S
n
 
 
 
不可能是等差数列
C．数列
n
n
S
a
 
 
 
不可能是等差数列 D．数列
n
n
a
S
 
 
 
不可能是等差数列
2
3．（2021·浙江高三期末）十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数
列”，斐波那契数列
 
n
a
满足以下关系：
 
*
1 2 1 2
1, 1, 3,
n n n
a a a a a n n N
 
 
，记其前
n
项和为
n
S
，若
2020 (a m m
为常数
)
，则
2018
S
的值为（ ）
A．
2m
B．
1m
C．
m
D．
1m
4．（2021·浙江温州市·高三二模）已知递增等差数列
的前
n
项和为
n
S
，若
5
15S
，且
1 2 3
, , 1a a a
成等比数列，则（ ）
A．
1 10
0, 45a S 
B．
1 10
0, 90a S 
C．
1 10
1, 100a S 
D．
1 10
1, 55a S 
5．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知数列
 
 
*
3,
n
a n n N 
为等差数列，则“
1 2 2020
2 2020a a a  
为有理数”是“数列
中存在有理数”
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列
 
n
a
的前 n项和为
n
S
，且
   
3
6 6
1 2019 1 1a a  
，
   
3
2015 2015
1 2019 1 1a a  
，则下列结论正确的是（ ）
A．
2020
2020S
，
2015 6
a a
B．
2020
2020S
，
2015 6
a a
C．
2020 2020S 
，
2015 6
a a
D．
2020 2020S 
，
2015 6
a a
7．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列
满足
1
sin
n n
a a
，
*
Nn
，若对任意 n∈N*，都
1n n
a a
，则下列可能成立的是（ ）
A．
1
1a
B．
2
1a 
C．
3
2a 
D．
4
1
2
a 
8．（2021·全国高三专题练习（理））设数列
 
n
x
满足
2 *
1
2 ,
n n n
x x x n
  N
，且对于任意
1
0x
，都存
3
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