专题6.数列与数学归纳法--《2021届浙江省优质数学试卷分项解析03》【原卷版】

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专题 6.数列与数学归纳法
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列
基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度
中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳
定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题
综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等
式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.
预测 2021 年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.
1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{
an
}的前
n
项和
Sn
，公差
d
≠0， ．记
b
1=
S
2，
bn+
1=
S2n+
2–
S
2
n
， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2
a
4=
a
2+
a
6B．2
b
4=
b
2+
b
6C． D．
2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前 3 项和是________．
3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{
an
}，{
bn
}，{
cn
}中，
．
（Ⅰ）若数列{
bn
}为等比数列，且公比 ，且 ，求
q
与{
an
}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
bn
}为等差数列，且公差 ，证明： ．
1
4．（2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
一、单选题
1．（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知数列
{ }
n
a
满足
1
3 ( N )
n n
a a n
 
，且
12a
，则
1 2 3 n
a a a a  
（ ）
A．
3 1
n
B．
3
n
C．
D．
1
3
n
2．（2021·浙江温州市·高三期末）已知等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
2
3a
，
5
30S
，则
1
a
的最
小值是（ ）
A．
1
B．
0
C．
1
D．
2
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）函数
( ) 2sin ( 0)f x x x x 
的所有极小值点从小到大排列成数列
2
 
n
a
，设
n
S
是
 
n
a
的前 n项和，则
2021
sin S
（ ）
A．1 B．
3
2
C．0 D．
3
2
4．（2021·浙江金华市·高三期末）已知等比数列
 
n
a
的公比为 q，首项为 a，前 n项和为
n
S
，（ ）
A．若
0a
，则
0
n n
a S
B．若
0q
，则
0
n n
a S
C．若
0a
，则
0
n n
a S
D．若
0q
，则
0
n n
a S
5．（2020·浙江省桐庐中学高三月考）数列
 
n
a
满足
 
2 *
1n n n
a a a n N
 
，
1
1
0, 2
a 
 
 
，则以下说法
正确的个数（ ）
①
1
0
n n
a a
 
；
②
2 2 2 2
1 2 3 1n
a a a a a  
；
③ 对任意正数
b
，都存在正整数
m
使得
1 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1
m
b
a a a a
 
 
成立；
④
1
1
n
an
.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知数列
 
n
a
的前
n
项和是
n
S
，前
n
项的积是
n
T
.
① 若
 
n
a
是等差数列，则
 
1n n
a a
是等差数列；
② 若
 
n
a
是等比数列，则
 
1n n
a a
是等比数列；
③ 若
n
S
n
 
 
 
是等差数列，则
 
n
a
是等差数列；
④ 若
 
n
a
是等比数列，则
 
2
n
n
T
 
 
 
是等比数列.
3
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