专题6.数列与数学归纳法--《2021届浙江省优质数学试卷分项解析01》【原卷版】

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专题 6.数列与数学归纳法
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列
基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度
中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳
定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题
综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等
式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.
预测 2021 年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.
1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{
an
}的前
n
项和
Sn
，公差
d
≠0， ．记
b
1=
S
2，
bn+
1=
S2n+
2–
S
2
n
， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2
a
4=
a
2+
a
6B．2
b
4=
b
2+
b
6C． D．
2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前 3 项和是________．
3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{
an
}，{
bn
}，{
cn
}中，
．
（Ⅰ）若数列{
bn
}为等比数列，且公比 ，且 ，求
q
与{
an
}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
bn
}为等差数列，且公差 ，证明： ．
1
4．（2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
一、单选题
1．（2020·浙江开学考试）已知数集
 
1 2 3 1 2
, 1, , , , 2
n n
S a a a a a a a n  
具有性质 P：对任
意的
 
, 1i j i j n 
，
i j
a a S
或
j
i
aS
a
成立，则（ ）
A．若
3n
，则
1 2 3
, ,a a a
成等差数列
B．若
4n
，则
成等比数列
C．若
5n
，则
12345
, , , ,a a a a a
成等差数列
D．若
7n
，则
1 2 3 4 5 76
, , , , ,,a a a a a a a
成等比数列
2
2．（2020·浙江开学考试）设
*
k N
，若数列
 
n
a
是无穷数列，且满足对任意实数
k
不等式
 
2 0
n n
ka a k  
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列
 
n
a
为单调递增的等差数列 B．存在数列
 
n
a
为单调递增的等比数列
C．
2
1 2
2
n
a a na n n  
恒成立 D．
2
1 2
2
n
a a na n n  
恒成立
3．（2020·嘉兴市第五高级中学月考）设
*
Nk
，若数列
 
n
a
是无穷数列，且满足对任意实数
k
不等式
 
2 0
n n
ka a k  
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列
 
n
a
为单调递增的等差数列 B．存在数列
 
n
a
为单调递增的等比数列
C．
2
1 2
2
n
a a na n n  
恒成立 D．
2
1 2
2
n
a a na n n  
4．（2020·浙江高三月考）已知等差数列
 
n
a
的首项为
1
a
，公差
0d
，记
n
S
为数列
 
 
1
n
n
a 
的前
n
项和，且存在
*
k N
，使得
1
0
k
S
成立，则（ ）
A．
1
0a d
B．
1
0a d
C．
1
a d
D．
1
a d
5．（2020·浙江月考）已知数列
 
n
a
的前
n
项的和为
n
S
，且
 
2 3
n n
S a n n N
 
，则（ ）
A．
 
n
a
为等比数列 B．
 
n
a
为摆动数列
C．
1
3 2 9
n
n
a
 
D．
6 2 3 6
n
n
S n 
6．（2020·重庆月考）已知数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，
1
1a
，当
2n
且
*
n N
时，
n
a
，
n
S
，
1
n
S
成等比数列，则
5
a
（ ）
A．
1
5
B．
1
-5
C．
1
20
D．
1
20
-
3
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