专题6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法（解析版）

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第六篇不等式、推理与证明

专题 6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法

【考纲要求】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点

3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

【命题趋势】

1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.

2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．直接证明

(1)综合法

① 定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结

论成立，这种证明方法叫做综合法．

② 框图表示：―→―→―→…―→(其中 P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结

论)．

(2)分析法

① 定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定

一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

② 框图表示：―→―→―→…―→.

2．间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

(1)反证法的定义

一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了

原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．

(2)用反证法证明的一般步骤

① 反设——假设原命题的结论不成立；

② 归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；

③ 结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

用反证法证明命题“若 p，则 q”的过程可以用框图表示为

―→―→―→

【真题体验】

1．用分析法证明：欲使① A＞B，只需② C＜D，这里①是②的(　　)

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B　

【解析】由题意可知应有②⇒①，故①是②的必要条件．

2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设(　　)

A．三个内角都不大于 60°

B．三个内角都大于 60°

C．三个内角至多有一个大于 60°

D．三个内角至多有两个大于 60°

【答案】B　

【解析】“至少有一个不大于 60°”的反面是“都大于 60°”．

3.在△ABC 中，三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数

列，则△ABC 的形状为__________．

【答案】等边三角形

【解析】由题意知 2B＝A＋C，又 A＋B＋C＝π，所以 B＝.

又b2＝ac，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，

所以 a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以 a＝c，

所以 A＝C，所以 A＝B＝C＝，所以△ABC 为等边三角形．

4．下列条件：① ab＞0；② ab＜0；③ a＞0，b＞0；④ a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数

是__________．

【答案】3

【解析】要使＋≥2，只要>0 且>0，即 a，b不为 0且同号即可，故符合的条件有①③④，共 3个．

5．(2019·湖北天门中学月考)设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A. B.

C.＋ D.－

【答案】D　

【解析】f(n＋1)－f(n)＝－＝－＝

－.故选 D.

6．(2019·黑龙江大庆一模)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k＋1成立时，总可

推出 f(k＋1)≥k＋2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)

A．若 f(1)<2 成立，则 f(10)<11 成立

B．若 f(3)≥4 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k＋1

C．若 f(2)<3 成立，则 f(1)≥2 成立

D．若 f(4)≥5 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k＋1成立

【答案】D　

【解析】根据题意，若 f(4)≥5 成立，则 f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4)，即 f(k)≥k＋1(k≥5)．综合 f(4)≥5，可知当 k≥4

时，均有 f(k)≥k＋1成立．故选 D.

7．用数学归纳法证明“当 n为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y整除”，当第二步假设 n＝2k－1(k∈N*)时命

题为真，进而需证 n＝__________时，命题亦真．

【答案】2k＋1

【解析】因为 n为正奇数，所以与 2k－1相邻的下一个奇数是 2k＋1.

【考法解码•题型拓展】

考法一：分析法

解题技巧：分析法证题的思路

(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、

公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结

论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

【例1】已知 a＞0，求证：－≥a＋－2.

【答案】见解析

【解析】证明欲证－≥a＋－2，

只需证＋2≥a＋＋，因为 a>0，

故只需证 2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

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