专题5.4 数列求和（解析版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.4 数列求和

【考纲要求】

1. 熟练掌握等差、等比数列的前 n项和公式．

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

【命题趋势】

利用公式求数列的前 n项和，利用常见求和模型求数列的前 n项和.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．公式法与分组法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前 n项和公式求和．

① 等差数列的前 n项和公式

Sn＝＝na1＋d　.

② 等比数列的前 n项和公式

Sn＝

(2)分组法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组法分别求和后相加减．

2．倒序相加法与并项求和法

(1)倒序相加法

如果一个数列{an}的前 n项中与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项的和，那么求这个数列的前 n

项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n项和公式即是用此法推导的．

(2)并项求和法

在一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)

＋…＋(2＋1)＝5 050.

3．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(2)常见的裂项技巧

①＝－；

②＝；

③＝；

④＝－.

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即

可用此法来求，如等比数列的前 n项和公式就是用此法推导的

【真题体验】

1．数列{an}的通项公式是 an＝，前 n项和为 9，则 n＝(　　)

A．9 B．99

C．10 D．100

【答案】B　

【解析】因为 an＝＝－，所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.所以－1＝9，即＝10.所

以n＝99.

2．若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(　　)

A．15 B．12

C．－12 D．－15

【答案】A　

【解析】因为 an＝(－1)n(3n－2)，所以 a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋

4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15.

3．已知正项数列{an}满足 a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前 n项和 Sn＝__________.

【答案】 3n－1

【解析】 a－6a＝an＋1an，因此(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0.

因为 an＞0，所以 an＋1＝3an.又a1＝2，所以{an}是首项为 2，公比为 3的等比数列．所以 Sn＝＝3n－1.

4．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 an＝n·2n，则 Sn＝__________.

【答案】 (n－1)2n＋1＋2

【解析】因为 an＝n·2n，所以 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

所以 2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②

①－②，得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.所以 Sn＝(n－1)2n＋1＋

【考法拓展•题型解码】

考法一　　分组法求和

归纳总结：分组法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组法求{an}的前 n项和．

(2)通项公式为 an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组法求和．

【例 1】已知等差数列{an}满足 a5＝9，a2＋a6＝14.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前 n项和 Sn.

【答案】见解析

【解析】 (1)设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则由 a5＝9，a2＋a6 ＝14 得解得所以{an}的通项公式 an＝2n－

(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.

当q＞0且q≠1 时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋；

当q＝1时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．

所以数列{bn}的前 n项和 Sn＝

考法二　　错位相减法求和

归纳总结　　

(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n项和时，可采用错位相减法，一般是

和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达

式．

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解．同时

要注意等比数列的项数是多少．

【例 2】已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前 n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求数列{bn}的前 n项和 Tn.

【答案】见解析

【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，则 q＝＝＝3.

故a1＋a2＝a1＋3a1＝8，解得 a1＝2.所以 an＝a1qn－1＝2×3n－1.

(2)由(1)知Sn＝3n－1，

所以 bn＝an·log3(Sn＋1)＝2×3n－1×log33n＝2n×3n－1，

所以 Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①

3Tn＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②

①－②得－2Tn＝2×30＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2n×3n＝3n(1－2n)－1.所以 Tn＝.

考法三　　裂项相消法求和

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