专题5.3 三角函数的图象与性质（讲）（解析版）

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专题 5.3 三角函数的图象与性质
【考纲解读与核心素养】
1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.
2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
3.高考预测：
（1） “五点法”作图；
（2）三角函数的性质；
（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.
4.备考重点：
（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；
（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.
【知识清单】
知识点 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦函数
siny x
,余弦函数
cosy x
,正切函数
tany x
的图象与性质
性质
siny x
cosy x
tany x
图象
定义域
R
R
,
2
x x k k Z
 
 
 
 
值域
 
1,1
R
最值
当
 
22
x k k Z
 
时 ，
max 1y
； 当
当
 
2x k k Z
 
时，
max 1y
； 当
 
2x k k Z
 
 
时 ，
min
1y 
．
既无最大值，也无最小值
2 / 19
 
22
x k k Z
 
时 ，
min
1y 
．
周期性
2
2
奇偶性
 
sin sinx x  
,奇函数
 
cos cosx x 
偶函数
 
tan tanx x  
奇函数
单调性
在
 
2 , 2
2 2
k k k Z
 
 
 
 
 
 
上 是 增 函 数 ； 在
 
3
2 , 2
2 2
k k k Z
 
 
 
 
 
 
上是减函数．
在
 
 
2 , 2k k k Z
 
 
上 是
增函数；在
 
 
2 , 2k k k Z
 
 
上是减
函数．
在
 
,
2 2
k k k Z
 
 
 
 
 
 
上
是增函数．
对称性
对称中心
 
,0k k Z
对 称 轴
 
2
x k k Z
 
，
既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
 
,0
2
k k Z
 
 
 
 
对称轴
 
x k k Z
 
，既是中
心对称又是轴对称图形.
对称中心
 
,0
2
kk Z
 
 
无对称轴，是中心对称但不是轴
对称图形.
知识点 2．“五点法”做函数
 
siny A x h
 
 
的图象
“五点法”作图：先列表，令
3
0, , , , 2
2 2
x
 
 
 
，求出对应的五个的值和五个
y
值，再根据求出
的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到
 
siny A x h
 
 
在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数
 
siny A x h
 
 
的图象.
3 / 19
【典例剖析】
高频考点一 三角函数的定义域和值域
【典例 1】（2020·山东高一期末）函数
tan 2
x
y
的定义域为_____．
【答案】
 
2 ,x x k k Z
 
 
【解析】
解不等式
 
2 2
xk k Z
 
，可得
 
2x k k Z
 
 
，
因此，函数
tan 2
x
y
的定义域为
 
2 ,x x k k Z
 
 
.
故答案为：
 
2 ,x x k k Z
 
 
.
【典例 2】（2017 新课标 2）函数 （ ）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式，则
，由 可得 ，当 时，函数 取得最大值 1．
【规律方法】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用 sin
x
和 cos
x
的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的形式求值域；
(3)把 sin
x
或 cos
x
看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用 sin
x
±cos
x
和 sin
x
cos
x
的关系转换成二次函数求值域．
【变式探究】
1.（2020·上海高三专题练习）函数
siny m x n 
的最大值为 2，最小值为
4
，则
m
_________，
n
_
________.
【答案】
3
1
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