专题5.3 等比数列及其前n项和（解析版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.3 等比数列及其前 n项和

【考纲要求】

1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

4.了解等比数列与指数函数的关系.

【命题趋势】

1.利用公式求等比数列指定项、前 n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．

2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前 n项和.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫

做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q.

(2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即 G是a与b的等比中项

⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列与指数型函数的关系

当q>0 且q≠1 时，an＝·qn可以看成函数 y＝cqx，其是一个不为 0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各

项所对应的点都在函数 y＝cqx的图象上；

对于非常数列的等比数列{an}的前 n项和 Sn＝＝－qn＋，若设 a＝，则 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此

可知，数列{Sn}的图象是函数 y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．

对于常数列的等比数列，即 q＝1时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数 y＝a1x图

象上一系列孤立的点．

【素养清单•常用结论】

设数列{an}是等比数列，Sn是其前 n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq；若 2s＝p＋r，则 apar＝a，其中 m，n，p，q，s，r∈N*.

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm(k，m∈N*)．

(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列．

(5)若数列{an}的项数为 2n，则＝q；若项数为 2n＋1，则＝q.

【真题体验】

【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前 4项和为 15，且，则

（）

A．16 B．8

C．4 D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选 C．

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.

【2019 年高考全国 I卷理数】记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若，则 S5=___________．

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考

生易出现运算错误．

3.【2018 年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则（

）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】令则，令得，所以当时，，当

时，，因此 .

若公比，则，不合题意；

若公比，则但

，即，不合题意；

因此，，故选 B.

【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

【2017 年高考全国 II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点

倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下

一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏

C．5盏D．9盏

【答案】B

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