专题5.2 等差数列及其前n项和（原卷版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.2 等差数列及其前 n 项和

【考纲要求】

1.理解等差数列的概念．

2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

【命题趋势】

1. 利用公式求等差数列指定项、前 n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列．

2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前 n项和的最值

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列 a，A，b成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A叫做 a，b的等差中项．

在一个等差数列中，从第 2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中 

项.

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

3．等差数列的通项公式及前 n项和公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为 an＝dn＋a1－d的形式．当 d≠0时，an是关于 n的一次函数；当 d>0 时，数列为

递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．

(2)数列{an}是等差数列，且公差不为 0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

【素养清单•常用结论】

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若 m＋n＝2p，则

2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.

(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.

(8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.

(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足的项数 m使得 Sn取得最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足的项

数m使得 Sn取得最小值 Sm.

【真题体验】

1.【2019 年高考全国 I卷理数】记为等差数列的前 n项和．已知，则（）

A．B．

C．D．

2.【2019 年高考全国 III 卷理数】记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，，则 ___________．

3.【2019 年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn的

最小值为___________．

4.【2019 年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前 n项和.若，

则的值是___________．

5.【2018 年高考全国 II 卷理数】记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　等差数列基本量的求解

归纳总结:解决等差数列基本量计算问题的思路

(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出 a1和d，利用等差数列的通项公式和前 n项和

公式列方程(组)求解即可．

(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式 an＝a1＋(n－1)d和前 n项和公式 Sn＝＝na1＋d，

在这两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求

出剩余的两个量．

【例 1】 (1)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5＝(　　)

A．11 B．10

C．7 D．3

(2)已知{an}是公差为 1的等差数列，Sn为{an}的前 n项和，若 S8＝4S4，则 a10＝(　　)

A. B

C．10 D．12

(3)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝__________.

考法二　　等差数列的性质及应用

归纳总结:等差数列的常用性质和结论

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