专题5.2 等差数列及其前n项和（解析版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.2 等差数列及其前 n 项和

【考纲要求】

1.理解等差数列的概念．

2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

【命题趋势】

1. 利用公式求等差数列指定项、前 n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列．

2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前 n项和的最值

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列 a，A，b成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A叫做 a，b的等差中项．

在一个等差数列中，从第 2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中 

项.

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

3．等差数列的通项公式及前 n项和公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为 an＝dn＋a1－d的形式．当 d≠0时，an是关于 n的一次函数；当 d>0 时，数列为

递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．

(2)数列{an}是等差数列，且公差不为 0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

【素养清单•常用结论】

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若 m＋n＝2p，则

2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.

(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.

(8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.

(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足的项数 m使得 Sn取得最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足的项

数m使得 Sn取得最小值 Sm.

【真题体验】

1.【2019 年高考全国 I卷理数】记为等差数列的前 n项和．已知，则（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题知，，解得，∴ ， ,故选 A．

【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差

数列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．

2.【2019 年高考全国 III 卷理数】记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，，则 ___________．

【答案】4

【解析】设等差数列{an}的公差为 d,

因，所以，即，

所以．

【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

3.【2019 年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn的

最小值为___________．

【答案】 0，.

【解析】等差数列中, ,得又 ,所以公差

, ,

由等差数列的性质得时, , 时,大于 0,所以的最小值为或 ,即为 .

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､

基本运算能力的考查.

4.【2019 年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前 n项和.若，

则的值是___________．

【答案】16

【解析】由题意可得：，

解得：，则 .

【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，

灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

5.【2018 年高考全国 II 卷理数】记为等差数列的前项和，已知，．

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