专题5.1 数列的概念与简单表示法（原卷版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.1 数列的概念与简单表示法

【考纲要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)．

2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

【命题趋势】

数列的概念和简单表示法在高考中主要考查利用 an 和Sn 的关系求通项 an，或者利用递推数列构造等差或

等比数列求通项 an.

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定

义域的函数 an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　　　　　　

数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.

(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

2．数列的分类

(1)按照项数有限和无限分：

(2)按单调性来分：

3．数列的两种常用的表示方法

(1)通项公式：如果数列{an}的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个

数列的通项公式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

注意：1、并不是所有的数列都有通项公式；2、同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项

(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

通项公式和递推公式的异同点

不同点相同点

通项公式可根据某项的序号 n的值，直接代入求出 an

都可确定一个数列，也都可

求出数列的任意一项

递推公式

可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多

次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的

【素养清单•常用结论】

(1)若数列{an}的前 n项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝

(2)在数列{an}中，若 an最大，则若 an最小，则

【真题体验】

1.【2019 年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an2+b，，则（）

A．当 B．当

C．当 D．当

2．已知数列的通项公式为 an＝n2－8n＋15，则 3(　　)

A．不是数列{an}中的项

B．只是数列{an}中的第 2项

C．只是数列{an}中的第 6项

D．是数列{an}中的第 2项或第 6项

3．数列{an}中，a1＝1，当 n≥2且n∈N*时，an＝，则 a3＋a5＝(　　)

A. B.

C. D.

4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则 a5＝__________.

5．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是__________．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　由数列的前几项求数列的通项公式

归纳总结：由数列的前几项求通项公式的思路方法

(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．

(2)若第 n项和第 n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．

(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以

变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”

“商”后再进行归纳．

【例 1】写出下面各数列的一个通项公式．

(1)3，5，7，9，…；

(2)，，，，，…；

(3)－1，，－，，－，，…；

(4)3，33，333，3 333，….

考法二　　由递推关系求通项公式

解题技巧：由递推关系式求通项公式的常用方法

(1)已知 a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求 an.

(2)已知 a1且＝f(n)，可用“累乘法”求 an.

(3)已知 a1且an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．

(4)形如 an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．

(5)形如 an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得

an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．

【例 2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；

(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.

考法三　　an与Sn的关系及其应用

归纳总结

(1)Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：一是利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn

－1的关系式，再求解；二是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

(2)已知 Sn求an的三个步骤

① 先利用 a1＝S1求出 a1；

②用n－1替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2时an的表达式；

③注意检验n＝1时的表达式是否可以与 n≥2的表达式合并．

【例 3】 (1)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝(　　)

A．2n－1 B.n－1

C.n－1 D.

(2)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，求{an}的通项公式．

①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.

考法四　　数列的性质

解题技巧：数列的单调性和周期性的应用

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