专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）（原卷版）

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专题 5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

【考纲解读与核心素养】

1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.

2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.

3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.

4.高考预测：

（1）三角函数的定义；

（2）扇形的面积、弧长及圆心角；

（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；

二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．

5.备考重点：

(1) 理解三角函数的定义；

(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.

【知识清单】

知识点 1．象限角及终边相同的角

1．（1）任意角的分类：

① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

② 按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角：

终边与角 α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)．

2.弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．

② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角 α作为圆心角

时所对圆弧的长，r为半径．

③ 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的 r的大小无关，仅与角的大小有关．

3.弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π弧度．

若一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝()°，n°＝n· rad．

知识点 2．三角函数的定义

1.任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么

（1）点 P的纵坐标叫角 α的正弦函数，记作 sin α＝y；

（2）点 P的横坐标叫角 α的余弦函数，记作 cos α＝x；

（3）点 P的纵坐标与横坐标之比叫角 α的正切函数，记作 tan α＝.它们都是以角为自变量，以单位圆上点

的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数 y＝sinx，x∈R；余弦函

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数 y＝cosx，x∈R；正切函数 y＝tanx，x≠＋kπ（k∈Z）．

2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦

知识点 3．扇形的弧长及面积公式

(1)弧长公式

在半径为 r的圆中，弧长为 l的弧所对的圆心角大小为 α，则|α|＝，变形可得 l＝|α|r，此公式称为弧长公式，

其中 α的单位是弧度．

(2)扇形面积公式

由圆心角为 1 rad 的扇形面积为＝r2，而弧长为 l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为 S＝×＝lr，将 l＝|

α|r代入上式可得 S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．

(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示

名称角度制弧度制

弧长公式 l＝l＝__| α | r __

扇形面积公式 S＝S＝　 r 2

　＝　 lr 　

注意事项 r是扇形的半径，n是圆心角的角度

数

r是扇形的半径，α是圆心角的弧度

数，l是弧长

【典例剖析】

高频考点一象限角及终边相同的角

【典例 1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为　

A． B．

C． D．

【规律方法】

象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为

·360°＋

(0°≤

＜360°，

∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的

角

，再由角

终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

【变式探究】

若角



是第二象限角，试确定



，



的终边所在位置．

【总结提升】

象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示

(1)象限角：

象限角集合表示

第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}

第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}

第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}

第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}

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