专题05 圆锥曲线(解析版)

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专题 05 圆锥曲线
1.设圆 的圆心为 A，直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合，l交圆 A于
C，D两点，过 B作AC 的平行线交 AD 于点 E.
（Ⅰ）证明 为定值，并写出点 E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交C1于M,N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆
A交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为
|||| ACAD
，
ACEB //
，故
ADCACDEBD
，
所以
|||| EDEB
，故
|||||||||| ADEDEAEBEA
.
又圆
A
的标准方程为
16)1( 22 yx
，从而
，所以
4|||| EBEA
.
由题设得
)0,1(A
，
)0,1(B
，
2|| AB
，
由椭圆定义可得点
E
的轨迹方程为：
1
34
22
yx
（
0y
）.
（Ⅱ）当
l
与
x
轴不垂直时，设
l
的方程为
)0)(1( kxky
，
),(
11
yxM
，
),(
22
yxN
.
由
1
34
)1(
22
yx
xky
得
01248)34(
2222
kxkxk
.
则
34
8
2
2
21
k
k
xx
，
34
124
2
2
21
k
k
xx
.所以
34
)1(12
||1|| 2
2
21
2
k
k
xxkMN
.
过点
)0,1(B
且与
l
垂直的直线
m
：
)1(
1x
k
y
，
A
到
m
的距离为
1
2
2
k
，所以
1
34
4)
1
2
(42|| 2
2
2
2
2
k
k
k
PQ
.
故四边形
MPNQ
的面积
34
1
112||||
2
1
2
k
PQMNS
.
可得当
l
与
x
轴不垂直时，四边形
MPNQ
面积的取值范围为
)38,12[
.
1
当
l
与
x
轴垂直时，其方程为
1x
，
3|| MN
，
8|| PQ
，四边形
MPNQ
的面积为 12.
综上，四边形
MPNQ
面积的取值范围为
)38,12[
.
2.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，
且有 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆交于 、 两点，求 面积的最大值.
【解析】（1）由 ，得 ，∴ .
将 代入 ，得 .∴椭圆 的方程为 .
（2）由已知，直线 的斜率为零时，不合题意，设直线方程为 ，点 ，
，则联立 ，得 ，
由韦达定理，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.∴ 面积的最大值为 .
2
3.在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
C
的顶点是原点，以
x
轴为对称轴，且经过点
 
1,2P
.
（1）求抛物线
C
的方程；
（2）设点
A
，
B
在抛物线
C
上，直线
PA
，
PB
分别与
y
轴交于点
M
，
N
，
PM PN
.求证:直线
AB
的斜率为定值.
【解析】（1）依题意，设抛物线 的方程为 ．由抛物线 且经过点 ，
得 ，所以抛物线 的方程为 ．
（2）因为
PM PN
，所以
PMN PNM  
，
所以
1 2  
，所以 直线
PA
与
PB
的倾斜角互补，所以
0
PA PB
k k 
．
依题意，直线
AP
的斜率存在，设直线
AP
的方程为：
 
2 1 0y k x k 
，
将其代入抛物线
C
的方程，整理得
 
2 2 2 2
2 2 2 4 4 0k x k k x k k    
．
设
 
1 1
,A x y
，则 ， ，
所以 ．
以 替换点 坐标中的 ，得 .
所以 ．所以直线 的斜率为 ．
4.已知椭圆 ： 过点 ，过右焦点且垂直于 轴的直线截
椭圆所得弦长是 1．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
3
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