专题05 应用导数研究不等式恒成立问题（原卷版）

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专题 05 应用导数研究不等式恒成立问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研
究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置 .其中，应
用导数研究不等式恒成立问题的主要命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒 (能)成
立求参数的范围、不等式存在性问题.本专题就应用导数研究不等式恒成立问题，进行专题
探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法---参变分离、数形结合、最值分析等.
一、利用导数证明不等式
f
(
x
)＞
g
(
x
)的基本方法
(1)若
f
(
x
)与
g
(
x
)的最值易求出，可直接转化为证明
f
(
x
)min＞
g
(
x
)max；
(2)若
f
(
x
)与
g
(
x
)的最值不易求出，可构造函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)，然后根据函数
h
(
x
)的
单调性或最值，证明
h
(
x
)＞0.
二、不等式恒成立问题的求解策略
(1)已知不等式
f
(
x
，
λ
)≥0(
λ
为实参数)对任意的
x
∈
D
恒成立，求参数
λ
的取值范围．
利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：
(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒
成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(
a
＞0，
Δ
＜0 或
a
＜0，
Δ
＜0)求解．
三、不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即
f
(
x
)≥
g
(
a
)对于
x
∈
D
恒成立，
应求
f
(
x
)的最小值；若存在
x
∈
D
，使得
f
(
x
)≥
g
(
a
)成立，应求
f
(
x
)的最大值．在具体问
题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也
就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，
以免细节出错．
【压轴典例】
例1．（2021·全国高三其他模拟）已知数列 满足 ， .若
1
恒成立，则实数 的最大值是（ ）(选项中 为自然对数的底数，大约为
)
A．B．C．D．
例2．（2021·浙江嘉兴市·高三）已知函数 ，其中 ．若对于
某个 ，有且仅有 3个不同取值的 ，使得关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例 3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当 a=e 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若 f(x)≥1,求 a 的取值范围.
例 4.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数 f(x)=ex+ax2-x.
(1)当
a
=1 时,讨论
f
(
x
)的单调性;
(2)当
x
≥0 时,
f
(
x
)≥
x
3+1,求
a
的取值范围
.
例5
.
(2020·天津高考·T20)已知函数
f
(
x
)=
x
3+
k
ln
x
(
k
∈R),
f'
(
x
)为
f
(
x
)的导函数
.
(1)当
k
=6时,
①求曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线方程;
②求函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
f'
(
x
)+ 的单调区间和极值;
(2)当
k
≥-3 时,求证:对任意的
x
1,
x
2∈[1,+∞),且
x
1>
x
2,有 >
.
例6．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数 ，其中 e是自然对数的底数，
2
.
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 a的值；
（2）对于给定的常数 a，若 对 恒成立，求证： ．
例7.(2020·江苏高考·T19)已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,b∈R)在区
间D 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x).
(1)若 f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞).求 h(x)的表达式;
(2)若 f(x)=x2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+∞).求 k 的取值范围;
(3) 若 f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0<|t|≤ ),D=[m,n]⊆[-,],
求证:n-m≤.
例8. （2020 届安徽省马鞍山市高三）已知函数 .
（1）若 在定义域内无极值点，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， 恒成立.
例9．（2021·安徽高三）已知函数 其中
（1）讨论 的单调性；
（2）若当 时 恒成立，求 的取值范围.
例 10.（2020 届山西省孝义市一模）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，曲线 总在曲线 的下方，求实数 的取值范围.
3
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