专题05 十大模板解决高考计数原理和排列组合问题（原卷版）

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专题 05 十大模板解决高考计数原理和排列组合问题
[高考定位] 考查排列与组合的题目在高考中多以小题的形式出现，考查两个计数原理的综合应用，也经常
对概率、数列、不等式等知识进行综合考查；对二项式定理的考查多以求展开式中项的系数、特定项为主，
也常与其他知识交汇命题，如数列知识、方程根的个数等．
[核心提炼]
　分类加法计数原理和分步乘法计数原理
若每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；若需要通过若干步才能将
规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法
计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
考点二　排列与组合
名称 排列 组合
相同点 都是从 n个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复
不同点
① 排列与顺序有关；②两个
排列相同，当且仅当这两个
排列的元素及其排列顺序完
全相同
① 组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当
这两个组合的元素完全相同
　求解排列、组合问题的思路：
排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
[注]　解答计数问题多利用分类讨论思想．
1
分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”
【题型分类】
一．两个原理的灵活应用
二．不相邻问题（插空法）
三．相邻问题的大元素法（捆绑法）
四．平均分堆问题的消序法
五．分配问题
六．至少问题变恰好
七．走街道的最短路径问题
八．特殊元素优先
九．涂色问题
十．不在问题
十一。正难则反的原则
【题型解法规律总结】
一．两个原理的灵活应用
例1. 现有 4种不同品牌的小车各 2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在 4个车库中（每个车库放 2
辆则恰有 2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．144 种B．108 种C．72 种D．36 种
练习 1．有甲、乙、丙三项任务，甲需要 3人承担，乙需要 2人承担，丙需要 1人承担，现从 8个人中选派
6人承担这三项任务，则不同的选派方法有（ ）
A．B．C．D．
练习 2. 2019 年4月25 日-27 日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6个国内媒体团
和3个国外媒体团中选出 3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且
国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )
A．198 B．268 C．306 D．378
二．不相邻问题（插空法）
例2．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，
若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
2
A．72 种B．144 种C．288 种D．360 种
练习 1. 高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和 l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞
蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．800 B．5400 C．4320 D．3600
练习 2. 某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派 4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参
加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A．B．C．600 D．
三．相邻问题的大元素法（捆绑法）
例3. ．有 位男生， 位女生和 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男
生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A．B．C．D．
练习 1. 《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的
故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务
必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A．240 种B．188 种C．156 种D．120 种
四．平均分堆问题的消序法
例4．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天
阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，
每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）
A．120 种B．240 种C．480 种D．600 种
练习 1. 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从 名男生 ， ， 和 名女生
， ， 中各随机选出两名，把选出的 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则 和 两人
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