专题05 十大模板解决高考计数原理和排列组合问题（解析版）

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专题 05 十大模板解决高考计数原理和排列组合问题

[高考定位] 考查排列与组合的题目在高考中多以小题的形式出现，考查两个计数原理的综合应用，也经常

对概率、数列、不等式等知识进行综合考查；对二项式定理的考查多以求展开式中项的系数、特定项为主，

也常与其他知识交汇命题，如数列知识、方程根的个数等．

[核心提炼]

　分类加法计数原理和分步乘法计数原理

若每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；若需要通过若干步才能将

规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法

计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

考点二　排列与组合

名称排列组合

相同点都是从 n个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复

不同点

① 排列与顺序有关；②两个

排列相同，当且仅当这两个

排列的元素及其排列顺序完

全相同

① 组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当

这两个组合的元素完全相同

　求解排列、组合问题的思路：

排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

[注]　解答计数问题多利用分类讨论思想．

分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”

【题型分类】

一．两个原理的灵活应用

二．不相邻问题（插空法）

三．相邻问题的大元素法（捆绑法）

四．平均分堆问题的消序法

五．分配问题

六．至少问题变恰好

七．走街道的最短路径问题

八．特殊元素优先

九．涂色问题

十．不在问题

十一。正难则反的原则

【题型解法规律总结】

一．两个原理的灵活应用

例1. 现有 4种不同品牌的小车各 2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在 4个车库中（每个车库放 2

辆则恰有 2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）

A．144 种B．108 种C．72 种D．36 种

【答案】C

【解析】每个车库放 2辆则恰有 2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有

选C.

练习 1．有甲、乙、丙三项任务，甲需要 3人承担，乙需要 2人承担，丙需要 1人承担，现从 8个人中选派

6人承担这三项任务，则不同的选派方法有（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】要完成任务，根据题意：

只需先后从人中选出人，从人中选出人，从人中选出人即可.

故所有的选派方法有种.

故选：A.

练习 2. 2019 年4月25 日-27 日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6个国内媒体团

和3个国外媒体团中选出 3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且

国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )

A．198 B．268 C．306 D．378

【答案】A

【解析】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；

若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，

所以共有种提问方式.

故选 A.

二．不相邻问题（插空法）

例2．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，

若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A．72 种B．144 种C．288 种D．360 种

【答案】B

【解析】第一步排语文，英语，化学，生物 4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数

学和物理插入前 4科除最后位置外的4个空挡中的 2个，有种排法，所以不同的排表方法共有

种.

选.

练习 1. 高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和 l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞

蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A．800 B．5400 C．4320 D．3600

【答案】D

【解析】先排 4个音乐节目和 1个曲艺节目共有种排法，再从 5个节目的 6隔空插入两个不同的舞蹈节

目有种排法，∴共有种排法，故选 D

练习 2. 某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派 4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参

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