专题05 函数【知识梳理】（解析版）

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专题 05 函数【知识梳理】
一、函数的概念
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则 f，对 A中的任意数 x，都有唯一确定的数 y与
它对应，那么就称 f ： A → B
为从集合 A到集合 B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数 y＝f(x)自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{ y | y
＝ f ( x ) ， x ∈ A } 叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量 x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为
分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
【例题 1】下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据函数的定义，一个自变量 对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于 轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以 D不是函数图像．
故选：D
【例题 2】已知函数 则 =（ ）
A．B．9 C．D．
【答案】A
【详解】
1
,
所以 .
故选：A
【跟踪训练 1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【详解】
解析：A选项中定义域不同， 的定义域为 ，而 定义域为 ；
B选项定义域与值域都不相同， 的定义域和值域都为 ， 的定义域和值域都为 ；
C选项定义域不同， 的定义域为 ， 的定义域为 ；
D选项两个函数的定义域都为 ，值域都为 ．
故选：D
【跟踪训练 2】已知定义在 上的函数 满足： ， ， ，且
，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】
因 ， ， ，且 ，
取x=0，y=1 有 ，则 ，
取x=y=1 有 ，
2
所以 5.
故选：B
【跟踪训练 3】已知函数 ，若 ，则实数 a的取值范国是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为 .
①当 时， .
②当 时， .
③当 时， .
综上所述： .
二、函数的性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M中任
意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当
Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)>0
时，就称 Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)<0
时，就称函数
3
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