专题4.4 数系的扩充与复数的引入（原卷版）

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第四篇平面向量、数系的扩充与复数的引入

专题 4.4 数系的扩充与复数的引入

【考纲要求】

1. 理解复数的基本概念．

2．理解复数相等的充要条件．

3．了解复数的代数表示法及其几何意义．

4．会进行复数代数形式的四则运算．

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

【命题趋势】

复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的

主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi为实数；若 b≠0，

则a＋bi为虚数；若 a＝0且b≠0，则 a＋bi为纯虚数．

一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量OZ的模 r叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．

复数 z＝a＋bia，b∈R的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi.

(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④ 除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

① 交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

② 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

【素养清单•常用结论】

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】设复数 z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A．B．

C．D．

2.【2019 年高考北京卷理数】已知复数，则（）

A．B．

C．D．

3. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】若，则 z=（）

A．B．

C．D．

5. 【2019 年高考天津卷理数】是虚数单位，则的值为______________．

6. 【2019 年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则 =______________．

【2019 年高考江苏卷】已知复数的实部为 0，其中为虚数单位，则实数 a的值是________

______．

【考法拓展•题型解码】

考法一　复数的有关概念

归纳总结：紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为 a，

虚部为 b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复

数的共轭复数．

【例 1】 (1)(2018·浙江卷)复数(i 为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

(2)(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)

A． B．

C． D．2

(3)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)

C．(1＋i)2 D．i(1＋i)

(4)(2017·天津卷)已知 a∈R，i为虚数单位，若为实数，则 a的值为__________．

考法二　复数的几何意义

归纳总结

(1)复数 z、复平面上的点 Z及向量OZ相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可

运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

【例 2】 (1)(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

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