专题4.3 折叠与探究性问题（文科）（第01期）-2019年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列（解析版）

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一、解答题
1．在菱形 中， 且 ，点 分别是棱 的中点，将四边形 沿着 转动，使
得 与 重合，形成如图所示多面体，分别取 的中点 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ，求多面体 的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）
【解析】
【详解】
（Ⅰ）取 中点 ，连接 .
∵ 分别是 的中点
∴
又∵
∴平面 ， 平面
又∵
平面 平面
又 平面
∴ 平面 .
【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积
的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ① 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转
化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．学科*网
2．如图长方体 的 ，底面 ABCD 的周长为 4，E为 的中点.
Ⅰ（）判断两直线 与 AD 的位置关系，并给予证明：
Ⅱ（）当长方体 体积最大时，求直线 与平面 所成角 ．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
【详解】
(Ⅰ) 与 是相交直线．
证明如下：连接 ，则 是平行四边形，∵ 也是 的中点，
∴ ∴ 为梯形， 四点共面，
与 为梯形两腰，故 与 相交．
(Ⅱ)设 ， ，
当且仅当 时取等号
解法 1：连接 ，设点 到平面 的距离为 ，则根据等体积法 ，其中
， ，所以 ，
则直线 与平面 所成角 满足 ，所以 .
专题4.3 折叠与探究性问题（文科）（第01期）-2019年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列（解析版）.doc

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