专题4.3 平面向量的数量积及其综合应用（解析版）

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第四篇平面向量、数系的扩充与复数的引入

专题 4.3 平面向量的数量积及其综合应用

【考纲要求】

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．

4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题

【命题趋势】

1.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂

直问题．

2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图所示，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量

a与b的夹角，记作〈a，b〉．

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　

(2)范围：夹角 θ的范围是[0，π]．

当θ＝0时，两向量 a，b共线且同向；

当θ＝时，两向量 a，b相互垂直，记作 a⊥b；

当θ＝π时，两向量 a，b共线但反向．

2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量 a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做 a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|

cos θ，其中 θ是a与b的夹角．

规定：零向量与任一向量的数量积为零．

3．平面向量数量积的几何意义

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量 b在向量 a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量 a在向量 b的方向

上的投影．

(2)a·b的几何意义

数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　　　　　　　　　

4．向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a.

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与 c共线

的向量，a·(b·c)表示一个与 a共线的向量，而 c与a不一定共线．

5．平面向量数量积的性质

设a，b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cos θ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

6．平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则

(1)|a|＝；　　(3)a

⊥

b⇔x1x2＋y1y2＝0；

(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝.

【素养清单•常用结论】

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量 a与b的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0时不成立)；

(2)两个向量 a与b的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π时不成立)．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国 I卷理数】已知非零向量 a，b满足，且 b，则 a与b的夹角为（

）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为 b，所以 =0，所以，所以 =，

所以 a与b的夹角为，故选 B．

【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的

余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

2.【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 =(2,3)，=(3，t)，=1，则 =（）

A．−3 B．−2

C．2 D．3

【答案】C

【解析】由，，得，则，

．故选 C．

【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

3.【2019 年高考北京卷理数】设点 A，B，C不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“

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