专题4.2 平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）

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第四篇平面向量、数系的扩充与复数的引入

专题 4.01 平面向量基本定理及坐标表示

【考纲要求】

1. 了解平面向量的基本定理及其意义．

2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【命题趋势】

对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用。

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对

实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量 e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；

2基底给定，同一向量的分解形式唯一；

3如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

2．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)向量坐标的求法：

① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，

|AB|＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

当且仅当 x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　　

【素养清单•常用结论】

若OA，OB是平面内不共线的向量，则存在实数 λ1，λ2使得OC＝λ1OA＋λ2OB，则当 λ1＋λ2＝1时，

A，B，C三点共线，特别地，当 λ1＝λ2＝时，C是A与B的中点

【真题体验】

1.【2018 年高考全国 III 卷理数】已知向量，，．若，则 ________

___．

2.【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为 1，1，，与

的夹角为，且 =7，与的夹角为 45°．若，则

___________．

3．若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝(　　)

A．(4,6) B．(－4，－6)

C．(－2，－2) D．(2,2)

4．已知两点 A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(　　)

A． B．

C． D．

5．(2017·山东卷)已知向量 a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若 a∥b，则 λ＝__________.

6．梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，点 M，N分别是 CD，AB 的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma

＋nb，则＝__________.

【考法拓展•题型解码】

考法一　平面向量基本定理的应用

归纳总结

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算．

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决．

【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，点 E和F分别是边 CD 和BC 的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中

λ，μ∈R，则 λ＋μ＝__________.

(2)如图所示，在△ABC 中，点 O是BC 的中点，过点 O的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，

若AB＝mAM，AC＝nAN，则 mn 的最大值为__________．

考法二　平面向量的坐标运算

归纳总结：平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，

则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减

去始点的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

【例 2】 (1)已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 3a－2b＋c＝0，则 c＝(　　)

A．(－23，－12) B．(23,12)

C．(7,0) D．(－7,0)

(2)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n的值为__________．

(3)平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)(c＞0)，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则实

数λ＋μ的值为__________．

考法三　平面向量共线的坐标表示

归纳总结

(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a＝(x1，y1)，b＝

(x2，y2)，则 a∥b的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便．

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