专题4.2 平面向量基本定理及坐标表示（解析版）

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第四篇平面向量、数系的扩充与复数的引入

专题 4.01 平面向量基本定理及坐标表示

【考纲要求】

1. 了解平面向量的基本定理及其意义．

2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【命题趋势】

对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用。

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对

实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量 e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；

2基底给定，同一向量的分解形式唯一；

3如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

2．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)向量坐标的求法：

① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，

|AB|＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

当且仅当 x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　　

【素养清单•常用结论】

若OA，OB是平面内不共线的向量，则存在实数 λ1，λ2使得OC＝λ1OA＋λ2OB，则当 λ1＋λ2＝1时，

A，B，C三点共线，特别地，当 λ1＝λ2＝时，C是A与B的中点

【真题体验】

1.【2018 年高考全国 III 卷理数】已知向量，，．若，则 ________

___．

【答案】

【解析】由题可得，，，，即，故答案为 .

【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两

向量共线的坐标关系计算即可.

2.【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为 1，1，，与

的夹角为，且 =7，与的夹角为 45°．若，则

___________．

【答案】3

【解析】由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得，

所以．

【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结

合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问

题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．

（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟

悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．

2．若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝(　　)

A．(4,6) B．(－4，－6)

C．(－2，－2) D．(2,2)

【答案】A　

【解析】因为AC＝AB＋BC，所以AC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．

3．已知两点 A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　

【解析】因为 A(4,1)，B(7，－3)，所以AB＝(3，－4)，所以与AB同向的单位向量为＝.

4．(2017·山东卷)已知向量 a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若 a∥b，则 λ＝__________.

【答案】－3

【解析】因为 a∥b，所以－1×6＝2λ，所以 λ＝－3.

5．梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，点 M，N分别是 CD，AB 的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN

＝ma＋nb，则＝__________.

【答案】－4

【解析】因为MN＝MD＋DA＋AN＝－a－b＋a＝a－b，

所以 m＝，n＝－1，所以＝－4.

【考法拓展•题型解码】

考法一　平面向量基本定理的应用

归纳总结

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