专题4.1 平面向量的概念及其线性运算（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 13 4 259KB 8 页 3知币
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第四篇 平面向量、数系的扩充与复数的引入
专题 4.1 平面向量的概念及其线性运算
【考纲要求】
1. 了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【命题趋势】
平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点，主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及
简单运算
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养。
【素养清单•基础知识】
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A为起点、B为终点的向量记作AB，也可用黑
体的单个小写字母 a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量AB的大小即向量AB的长度(模)，记为|AB|.　　　　　　　　　　　　　　　　
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为 0的向量 零向量记作 0，其方向是任意的
单位向量 长度等于 1个单位的向量　 单位向量记作 a0，a0＝
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共
线向量)
0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量
不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则 a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a平行的单位向量有两个，即向量和－.
3．向量的线性运算
1
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法
求两个向
量和的运
算　
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋
a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
求a与b
的相反向
量－b的和
的运算叫
做a与b
的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数 λ与
向量 a的
积的运算
|λa|＝|λ||a|；当 λ＞0时，λa的方向与
a的方向相同；当 λ＜0时，λa的方
向与 a的方向相反；当 λ＝0时，λa
＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝
λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋
λb
注：向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、
终点.
4．共线向量定理
向量 a(a
≠
0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
只有 a≠0才保证实数 λ的存在性和唯一性.
【素养清单•常用结论】
(1)若P为线段 AB 的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
(2)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若点 A，B，C三点共线，则 λ＋μ＝1.
【真题体验】
2
1.【2018 年高考全国 I卷理数】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）
A．B．
C．D．
2.【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上.
若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2
C． D．2
3．设 a0为单位向量，①若 a为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a与a0平行，则 a＝|a|a0；③若 a与a0
平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．点 D是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD＝(　　)
A．－BC＋BA B．－BC－BA
C．BC－BA D．BC＋BA
5．化简OP－QP＋MS－MQ的结果为__________．
6．已知 a与－b是两个不共线向量，且向量 a＋λb与－(b－3a)共线，则 λ的值为__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一　平面向量的概念
误区防范：平面向量概念中的几点注意
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象平移混为一谈．
(4)是与非零向量 a同方向的单位向量．
【例 1】 (1)给出下列命题：
① 若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
3
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