专题04 应用导数研究函数的极（最）值（原卷版）

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专题 04 应用导数研究函数的极（最）值
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研
究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置 .其中，应
用导数研究函数的极（最）值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，
求参数的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就
应用导数研究函数的极（最）值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与
方法.
一、函数极值的两类热点问题
(1)求函数
f
(
x
)极值这类问题的一般解题步骤为：
① 确定函数的定义域；②求导数
f
′(
x
)；③解方程
f
′(
x
)＝0，求出函数定义域内的所有
根；④列表检验
f
′(
x
)在
f
′(
x
)＝0 的根
x
0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么
f
(
x
)
在
x
0处取极大值，如果左负右正，那么
f
(
x
)在
x
0处取极小值．
(2)由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论
f
′(
x
)＝0 根的有无(个数)．然后由已知条件列
出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点
不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
二、函数最值的基本求法
1.求函数
f
(
x
)在[
a
，
b
]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(
a
，
b
)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值
f
(
a
)，
f
(
b
)；
第三步，将函数
f
(
x
)的各极值与
f
(
a
)，
f
(
b
)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个
为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，
并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
三、求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，
并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【压轴典例】
例1
.
(2020·天津高考·T20)已知函数
f
(
x
)=
x
3+
k
ln
x
(
k
∈R),
f'
(
x
)为
f
(
x
)的导函数
.
(1)当
k
=6 时,
① 求曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线方程;
② 求函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
f'
(
x
)+ 的单调区间和极值;
(2)当
k
≥-3 时,求证:对任意的
x
1,
x
2∈[1,+∞),且
x
1>
x
2,有 >
.
1
例2．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数 ， （ 为常
数）
（1）求函数 在 处的切线方程;
（2）设 ．
（ⅰ）若 为偶数，当 时，函数 在区间 上有极值点，求实数 的取值范
围;
（ⅱ）若 为奇数，不等式 在 上恒成立，求实数 的最小值．
例3..(2020·北京高考·T19)已知函数
f
(
x
)=12-
x
2
.
(1)求曲线
y
=
f
(
x
)的斜率等于-2 的切线方程;
(2)设曲线
y
=
f
(
x
)在(
t
,
f
(
t
))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
S
(
t
),求
S
(
t
)的
最小值
.
例4. (2020·江苏高考·T17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所
示:谷底
O
在水平线
MN
上,桥
AB
与
MN
平行,
OO'
为铅垂线(
O'
在
AB
上),经测量,左侧曲线
AO
上任一点
D
到
MN
的距离
h
1(米)与
D
到
OO'
的距离
a
(米)之间满足关系式
h
1=
a
2;右侧曲线
BO
上任一点
F
到
MN
的距离
h
2(米)与
F
到
OO'
的距离
b
(米)之间满足关系式
h
2=-
b
3+6
b.
已知
点
B
到
OO'
的距离为40米
.
(1)求桥
AB
的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于
OO'
的桥墩
CD
和
EF.
且
CE
为80米,其中
C
,
E
在
AB
上(不包括
2
端点)
.
桥墩
EF
每米造价
k
(万元),桥墩
CD
每米造价
k
(万元)(
k
>0),问
O'E
为多少米时,桥墩
CD
与
EF
的总造价最低？
例5．（2021·湖北武汉市·高三）已知函数 f(x)=xlnx-x2+(a-1)x(a∈R).
（1）讨论函数 f(x)的极值点的个数；
（2）若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>2a-3.
例 6.（2019·全国高考真题Ⅲ）已知函数
3 2
( ) 2f x x ax b  
.
（1）讨论
( )f x
的单调性；
（2）是否存在
,a b
，使得
( )f x
在区间
[0,1]
的最小值为
1
且最大值为 1？若存在，求出
,a b
的所有值；若不存在，说明理由.
例7．（2021·江西宜春市·高三）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间，并求 的最值；
（2）已知 ， .
①证明： 有最小值；
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