专题04 函数之存在与恒成立问题（习题）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

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2021 届高考数学一轮复习

专题 04 函数之存在与恒成立问题

一．选择题

1．已知关于 x的不等式 x2+kx+k＞0恒成立，则实数 k的取值范围是（　　）

A．（0，4）B．[0，4）

C．（﹣∞，0）∪（4+∞） D．（﹣∞，0]∪[4+∞）

【答案】A

【解析】解：设 f（x）＝x2+kx+k，

由关于 x的不等式 x2+kx+k＞0恒成立，

可得抛物线 y＝f（x）与 x轴无交点，

则△＜0，即 k2﹣4k＜0，解得 0＜k＜4．

即k的取值范围是（0，4）．

故选：A．

2．设 f（x）＝（a﹣1）x2+（2﹣a）x+1，若函数 f（x）在区间[3，6]上的图象恒位于 x轴

的上方，则实数 a的取值范围是（　　）

A．B．C．（1，+∞） D．

【答案】D

【解析】解：由题意，（a﹣1）x2+（2﹣a）x+1＞0对任意 x∈[3，6]恒成立，

即（x2﹣x）a＞x2﹣2x﹣1对任意 x∈[3，6]恒成立，

因为 x∈[3，6]，所以 x2﹣x＞0，问题等价于对任意 x∈[3，6]恒成立，

即对任意 x∈[3，6]恒成立，

令t＝x+1，则 x＝t﹣1且t∈[4，7]，

则，

所以对任意 t∈[4，7]恒成立，

因为函数在上是单调递增函数，

所以当 t＝7时，取得最大值，

因此实数 a的取值范围是，

故选：D．

3．已知不等式 m≤|x﹣6|+|x﹣3|对一切 x∈R恒成立，则实数 m的取值范围为（　　）

A．m≤3 B．m≥3 C．m≤﹣9 D．m≥﹣9

【答案】A

【解析】解：因为|x﹣6|+|x﹣3|≥|x﹣6﹣x+3|＝3，所以（|x﹣6|+|x﹣3|）min＝3，

要使不等式对一切 x∈R 恒成立，只需 m≤（|x﹣6|+|x﹣3|）min，

所以 m≤3，

故选：A．

4．已知函数 f（x）＝ln（x+1）﹣2ax，当 x＞0时，f（x）＜0恒成立，则 a的取值范围是

（　　）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解：当 x＞0时，f（x）＜0恒成立，

即ln（x+1）﹣2ax＜0，即 ln（x+1）＜2ax 恒成立即可，

作出函数 y＝ln（x+1）和 y＝2ax 的图象如图，

当a≤0时，不满足条件．

当a＞0时，函数 y＝ln（x+1）的导数 y′＝，

则函数在 x＝0处的切线斜率 k＝1，

要使 ln（x+1）＜2ax 恒成立，

则只需要当 x＝0时的切线斜率满足 2a≥1，即 a≥ 即可，

故选：B．

5．若不等式 ex﹣ax2﹣ax＞0对于任意的 x∈R恒成立，则实数 a的取值范围是（　　）

A．（﹣ ，0] B．[0，）

C．（0，） D．（﹣∞，）

【答案】A

【解析】解：当 a＝0时，原不等式即为 ex＞0恒成立；

当a＞0时，原不等式化为＞恒成立，

设f（x）＝，导数为 f′（x）＝﹣ ，

可得当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当 x＞或 x＜﹣1时，f′（x）＜

0，f（x）递减，

则f（x）在 x＝﹣1处取得极小值，且为﹣ e，在 x＝处取得极大值，

当x→+∞时，f（x）→0；当 x→﹣∞时，f（x）→+∞，则 f（x）无最大值，有最小值

f（﹣1）＝﹣ e，

则a＞0时，原不等式不恒成立；

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