专题04 函数之存在与恒成立问题（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

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2021 届高考数学一轮复习

专题 04 函数之存在与恒成立问题

八大解题策略经典例题分析

一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型

恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化：恒成立；

2、能成立问题的转化：能成立；

3、恰成立问题的转化：在 M上恰成立的解集为 M

另一转化方法：若在 D上恰成立，等价于在 D上的最小值

，若在 D上恰成立，则等价于在 D上的最大值

4、设函数、，对任意的，存在，使得，则

5、设函数、，对任意的，存在，使得，则

6、设函数、，存在，存在，使得，则

7、设函数、，存在，存在，使得，则

8、设函数、，对任意的，存在，使得，设

f(x)在区间[a,b]上的值域为 A，g(x)在区间[c,d]上的值域为 B,则AB.

9、若不等式在区间 D上恒成立，则等价于在区间 D上函数和图象在函

数图象上方；

10、若不等式在区间 D上恒成立，则等价于在区间 D上函数和图象在

函数图象下方；

恒成立问题的基本类型

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立命题。

函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某

函数的定义域为全体实数 R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于 a等等…

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函

数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面

起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

① 一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤

直接根据函数的图象。

二、恒成立问题解决的基本策略

大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问

题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题

的。

（一）两个基本思想解决“恒成立问题”

思路 1、

思路 2、

如何在区间 D上求函数 f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有

效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函

数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 f（x）的最值。

这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考

中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。

（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.

例1．如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称，那么 a=（）.

A.1 B.-1 C . D. - .

略解：取 x=0 及x= ，则 f(0)=f( ),即a=-1，故选 B.

此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.

例（备用）．由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射 f：

(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( )

A.10 B.7 C.-1 D.0

略解：取 x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 D

（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略

1、一次函数型：

若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷

给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0，则根据函数的图象（直线）

可得上述结论等价于

同理，若在[m,n]内恒有 f(x)<0，则有

例2．对于满足|a| 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个

作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于 a的一次函数大于 0

恒成立的问题.

解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0 在|a| 2 时恒成立,

设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于 0，故有：

即解得：

∴x<-1 或x>3. 即x (∈－∞,－1) (3,+∞)∪

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点

均在 x轴上方（或下方）即可.

2、二次函数型

涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方

法，在今后的解题中自觉运用。

（1）若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)大于 0恒成立，则有

（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。

类型 1：设在 R上恒成立，

（1）上恒成立；

（2）上恒成立。

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